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热力学统计物理课后答案11.doc

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第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数 ,压强系数 和等温压缩系数 。解:已知理想气体的物态方程为(1),pVnRT由此易得(2)11,p(3),VnRT(4)2111.TTTpp1.2 证明任何一种具有两个独立参量 的物质,其物态方程可,Tp由实验测得的体胀系数 及等温压缩系数 ,根据下述积分求得:lnTV=αdκ如果 ,试求物态方程。1,Tp解:以 为自变量,物质的物态方程为, ,VTp其全微分为(1).pTddpT全式除以 ,有V11.pTdVddpT根据体胀系数 和等温压缩系数 的定义,可将上式改写为T(2).dVdp上式是以 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有,Tp(3)ln.TVdp若 ,式(3)可表为1,Tp(4)1ln.dpT选择图示的积分路线,从 积分到 ,再积分到( ) ,0(,)0,T,Tp相应地体积由 最终变到 ,有0V00ln=ln,VTp即(常量) ,0pCT或(5).pV式(5)就是由所给 求得的物态方程。 确定常量 C 需1,Tp要进一步的实验数据。1.8 满足 的过程称为多方过程,其中常数 名为多方指数。npVCn试证明:理想气体在多方过程中的热容量 为nC1nV解:根据式(1.6.1) ,多方过程中的热容量(1)0lim.nTnnnQUCpT对于理想气体,内能 U 只是温度 T 的函数, ,VnC所以(2).nVnCpT将多方过程的过程方程式 与理想气体的物态方程联立,消去压强 可得p(常量) 。 (3)1nT将上式微分,有 12()0,nnVdTdV所以(4).()nT代入式(2) ,即得(5),(1)nVVpCC其中用了式(1.7.8)和(1.7.9) 。1.9 试证明:理想气体在某一过程中的热容量 如果是常数,n该过程一定是多方过程,多方指数 。假设气体的定压热容npVC量和定容热容量是常量。解:根据热力学第一定律,有(1)đ.dUQW对于准静态过程有 ,pdV对理想气体有 ,VCT气体在过程中吸收的热量为 đ,nQd因此式(1)可表为(2)().nVCTp用理想气体的物态方程 除上式,并注意 可得pvR,pVCvR(3)()().nVpVdd将理想气体的物态方程全式求微分,有(4).T式(3)与式(4)联立,消去 ,有d(5)()()0.nVnpVCC令 ,可将式(5)表为npV(6)0.dpnV如果 和 都是常量,将上式积分即得,pVCn(常量) 。 (7)nC式(7)表明,过程是多方过程。1.12 假设理想气体的 是温度的函数,试求在准静态pV和 之 比绝热过程中 的关系,该关系式中要用到一个函数 ,其表达TV和 FT式为 ln()1dTF解:根据式(1.8.1) ,理想气体在准静态绝热过程中满足(1)0.VCdTp用物态方程 除上式,第一项用 除,第二项用 除,可pnRnRTpV得(2)0.VT利用式(1.7.8)和(1.7.9) , ,pVCnR可将式(2)改定为(3)10.dTV将上式积分,如果 是温度的函数,定义(4)ln(),1FT可得(常量) , (5)1l()lTVC或(常量) 。 (6)()F式(6)给出当 是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中 T和 V 的关系。1.13 利用上题的结果证明:当 为温度的函数时,理想气体卡诺循环的效率仍为 21.T解:在 是温度的函数的情形下,§1.9 就理想气体卡诺循环得到的式(1.9.4)—(1.9.6)仍然成立,即仍有(1)211ln,VQRT(2)324l,(3)321214lnl.VWQRT根据 1.13 题式(6) ,对于§1.9 中的准静态绝热过程(二)和(四) ,有(4)123()(),FTV(5)41从这两个方程消去 和 ,得1()2()(6)314,故(7)211()ln,VWRT所以在 是温度的函数的情形下,理想气体卡诺循环的效率仍为(8)211.Q1.14 试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解:假设在 图中两条绝热线交于 点,如图所示。设想一pVC等温线与两条绝热线分别交于 点和 点(因为等温线的斜率小于绝热线的AB斜率,这样的等温线总是存在的) ,则在循环过程 中,系统在ABC等
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