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第一章 集合第一节 集合与元素目标1)理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法;2)了解“属于”关系的意义;能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;3)了解有限集、无限集、空集的意义;掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的 3 个特征。新课1、集合的概念(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合.(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素.2、常用数集及记法(1)自然数集:全体非负整数的集合.记作 N, ,210(2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集.记作 N*或 N+ , ,3*(3)整数集:全体整数的集合 奎 屯王 新 敞新 疆 记作 Z , ,,, (4)有理数集:全体有理数的集合.记作 Q , Q 整 数 与 分 数(5)实数集:全体实数的集合.记作 R, 数数 轴 上 所 有 点 所 对 应 的注:实数内数的框架结构(可用图示讲解) 正 整 数非 负 整 数 自 然 数整 数 零有 理 数实 数 负 整 数分 数无 理 数3、元素与集合的隶属关系(1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A(2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 4、集合中元素的特性(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可.(2)互异性:集合中的元素没有重复.(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)5、 (1)集合 通常用大写的拉丁字母表示,如 A、B、C、P、Q…元素 通常用小写的拉丁字母表示,如 a、b、c、p、q…(2)注意“∈”的开口方向,不能把 a∈A 颠倒过来写.练习1、说出下面集合中的元素(1) {大于 3 小于 11 的偶数} (2) {平方等于 1 的数} (3) {15 的约数}2、下列各组对象能确定一个集合吗?(1)所有很大的实数.(2)好心的人. (3)1,2,2,3,4,5.3、用“∈”与“ ”填空:1 N 0 N -3 N 0.5 N N 1 Z 0 Z -3 Z 0.5 Z Z21 Q 0 Q -3 Q 0.5 Q Q 1 R 0 R -3 R 0.5 R R4、设 a,b 是非零实数,那么 可能取的值组成集合的元素是___ba5、由实数 x,-x,|x|, 所组成的集合,最多含( )32,x(A)2 个元素 (B)3 个元素 (C )4 个元素 (D )5 个元素6、已知集合 P 的元素为 , 若 3∈P 且-1 P,求实数 m 的值。21,m第二节 集合的表示目标1)进一步理解集合的有关概念,熟记常用数集的概念及记法;2)初步了解有限集、无限集、空集的意义;3)会运用集合的两种常用表示方法. 新课1、集合的表示方法(一) .集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。如:{1,2,3,4,5},{x 2,3x+2 ,5y 3-x,x 2+y2},…;说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2.各个元素之间要用逗号隔开;3.元素不能重复;4.集合中的元素可以数,点,代数式等;5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为 1,2345,.2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号“ ”内。一般格式:()xAp具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如:{x|x-32},{(x,y)|y=x 2+1},{x ︳直角三角形},…;说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合,辨析:这里的{ }已包含“ 所有 ”的意思,所以不必写{ 全体整数}。下列写法{ 实数集},{R}也是错误的。3)文氏图法:(维恩图)思考:1、每种方法的优缺点;2、数集与点集的区别.2、集合的分类:有限集 无限集 空集练习1. 用列举法表示下列集合①{x∈N| x 是 15 的约数} ②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1 ,2}} ③ ④ 42|),(y },)1(|Nn⑤ ⑥ },,163| Nyx,|4分 别 是 的 正 约 数2、用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13} ②{-2,-4,-6,-8,- 10} 3、关于 x 的方程 ax+b=0,当 a,b 满足条件______________时,解集是有限集;当 a,b 满足条件_____________时,解集是无限集.4、用描述法表示下列集合:(1){1,5,25,125,625}= ; (2){0,± ,± ,± ,± , …}= .21503174第三节 集合的关系 目标1)了解集合的包含、相等关系的意义;2)理解子集、真子集 的概念;(,)3)理解补集的概念;了解全集的意义.新课问题:观察下列两组集合,说出集合 A 与集合 B 的关系.(1)A={1,2,3},B={1 ,2,3,4,5}(2)A=N,B=Q(3)A={-2,4} , }082|{xB1、子集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A.记作: ,或读作:A 包含于 B 或 B 包含 A若任意 x∈A x∈B,则 A B当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记作 A B 或 B A有两种可能:A 是 B 的一部分; A 与 B 是同一集合.2、集合相等:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A=B.3、真子集:对于两个集合 A 与 B,如果 ,并且 ,我们就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作: 或 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A.4、子集与真子集符号的方向. 不 同与同 义 ;与如 A5、空集定义:不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: 。说明:注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。注:空集是任何集合的子集. A空集是任何非空集合的真子集. , 若 A≠ ,则A任何一个集合是它本身的子集. 对于集合 A,B,C,如果 ,且 ,那么 。BC用适当的符号填空: ; 0 ; ; 06、易混符号①“ ”与“ ”:(元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系.)如 R,{1} {1,2,3},,1,N②{0}与 :{0}是含有一个元素 0 的集合, 是不含任何元素的集合.如 {0}.不能写成 ={0}, ∈{0}7、含 n 个元素的集合 的所有子集的个数是 ,na,21 n所有真子集(非空子集)的个数是 -1,非空真子集数为 .2例 1(1) 写出 N,Z,Q,R 的包含关系,并用文氏图表示.(2) 判断下列写法是否正确① ② A ③ ④AA例 2(1)若 A={x∈R| x -3x-4=0},B={x∈Z||x|<10},则 A B 正确吗?2B A(2)集合{a,b}的子集有那些?例 4 判断下列集合间的关系:(1) 与 ;|32}Ax{|50}Bx(2)设集合 A={0,1},集合 ,则 A 与 B 的关系如何?(3)若集合 , ,且满足 ,求实数 的取值范围.|a|2a第四节 集合的运算 目标1)结合集合的图形表示,理解交集与并集的概念;理解补集的概念;了解全集的意义2)熟练掌握交集和并集的表示法,会求两个集合的交集和并集;3)掌握集合的交、并的性质;4)掌握有关集合的术语和符号,并会用它们表示一些简单的集合新课观察下面两个图的阴影部分,它们同集合 A、集合 B 有什么关系?A B图1A B图21、交集的定义 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 A B(读作“A 交 B”) ,即 A B={x |x A,且 x B} .交集的运算律2、并集的定义一般地,由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A B(读作“A 并 B”) ,即 A B ={x|x A,或 x B}.并集的运算律3、全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。4、补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set) ,记作: ,读作:“A 在 U 中的补集”,即C,UCx且用 Venn 图表示:(阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)补集的运算律: ,,()UUUACACA,UUC练习1、若 S={1,2 ,3,4,5,6},A={1,3,5},求 SA ð2、已知全集 U=R,集合 A={x|1≤2x+1<9} ,求 AU3、已知 S={x|-1≤x+2<8} ,A={x|-2<1-x≤1} ,B={x|5<2x-1<11} ,讨论 A 与 B 的ðS关系4、若全集 U={x|0≤x<6,x∈Z} ,A ={1,3,5},B={1, 4},那么 ðU5、已知全集 U={x|-1< x<9} ,A={x|1<x<a} ,若 A≠ ,则 a 的取值范围是( )(A)a<9 (B)a≤9 (C)a≥9 (D )1<a≤96、已知 6 的正约数的集合为 A={1,2,3,6},10 的正约数为 B={1,2,5,10} ,那么 6 与 10 的正公约数的集合为 C= .7、已知全集 U={2,4,1- a} ,A={2,a 2-a+2}如果 UA={-1} ,那么 a 的值为 ð8、已知全集 U,A 是 U 的子集, 是空集,B= UA,求 UB, U , UU9、已知 U=R, A={x|3x+2 <0} , 求 UA.ð10、集合 U={(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}, A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,x+y=3} ,求 UA.11、设全集 U(U ) ,已知集合 M,N ,P,且 M= UN,N= UP,则 M 与 P 的关系是( )ð(A)M= UP (B)M=P (C )M P (D ) M Pð12、设全集 U={2,3, },A={b,2}, ={b,2},求实数 a 和 b 的值.32aU13、 (选讲)设集合 A={-4,2m-1,m 2},B={9,m -5,1-m},又 A B={9},求实数 m 的值.14、设 A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又 A B={3,5},A∩B={3} ,求实数 a,b,c 的值.15、已知集合 A={y|y=x2-4x+5},B={x|y= }求 A∩B,A∪B .x16、已知 A={x|x+2≤4},B={x|x> },若 A∩B= ,求实数 的取值范围aa17、集合 M={ (x,y)||xy|=1,x>0},N={(x,y)|xy=-1},求 M∪N18、集合 P= ,Q= ,则 P∩Q= ,xy2xy19、已知 U= 则集合 A= ,8765432UABð,8UAB6,4,7UABð第五节集合复习 目标巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系复习1、基本概念集合的分类:有限集、无限集;2、元素与集合的关系:属于,不属于;集合元素的性质:确定性,互异性,无序性;集合的表示方法:列举法、描述法、文氏图;子集、空集、真子集、相等的定义、数学符号表示以及相关性质.全集的意义及符号运算类型 交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 A B(读作”A 交 B”) ,即A B={x|x A,且 xB} .由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的并集.记作:A B(读作”A 并 B”) ,即 A B ={x|x A,或 xB}).设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作 ,即ðSA= },|{x且文 氏图A B图1A B图2图 3A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B AA B B( uA) ( uB)ð= u (A B)( uA) ( uB)= u(A B)A ( uA)=AA ( uA)=ð性质容斥原理:有限集 A 的元素个数记作 card(A).对于两个有限集 A,B ,有 card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B).CuA A
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