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多元函数求导经典例题.ppt

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多元函数习题课,一 学习要求,(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义;,(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质;,多元函数的概念 极限及连续,(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;,(4) 掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求法;,(5) 会求隐函数的偏导数;,(6) 掌握高阶偏导数与高阶微分的概念, 掌握二阶偏导数的计算,多元函数的偏导数及全微分,偏导数的应用,(7) 正确理解多元函数极值的概念,极值存在的必要条件和判断极值的充分条件;会求一般函数的极值,会利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值.,(8) 理解二重积分的概念,了解二重积分的性质;,(9) 掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计算方法;,(10) 了解广义二重积分的概念和计算方 法.,多元函数积分学,二、主要内容,平面点集 和区域,多元函数 的极限,多元函数 连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数 的性质,,,,多元函数概念,,,,全微分 的应用,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,偏导数在 经济上的应用,多元函数的极值,,,,,,全微分 概念,偏导数 概念,,,,1.区域,(1)邻域,,,,,(3)n维空间,,(2)区域,连通的开集称为区域或开区域.,2.多元函数概念,,3.多元函数的极限,,说明:,(1)定义中 的方式是任意的;,(2)二元函数的极限也叫二重极限,(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.,4.极限的运算,,5.多元函数的连续性,,6.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有最大值和最小值.,(2)最大值和最小值定理,(1)有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数.,在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.,(3)介值定理,7.偏导数概念,,,,8.高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,,,9.偏导数在经济上的应用:交叉弹性,即,,,10.全微分概念,,,多元函数连续、可导、可微的关系,,11.全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,,12.复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,,,13.全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的.,,隐函数的求导公式,14.隐函数的求导法则,,,15.多元函数的极值,定义,,多元函数取得极值的条件,定义 一阶偏导数同时为零的点,均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,,驻点,,,,条件极值:对自变量有附加条件的极值.,,三、典型例题,1 多元函数极限,计算多元函数极限的常用方法:,(1)利用不等式,使用夹挤定理;,(2)利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的极限;,(3)利用各种可利用的一元函数求极限的方法;,(4)利用函数的连续性;,(5)若事先能看出极限,可利用极限定义证明。,解,解,例2,注意:在某些情况下可以利用极坐标求极限,,但要注意在定义域内 r ,  的变化.,解 (1),例3,解,解:,解:,解题提示: 在解多元函数问题时,经过换元或其它方法将问题转化成一个一元问题加以解决,这种多元问题‘‘一元化”的思想,在解多元问题时非常重要.,思考与练习,解法1,分析:,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,,此时极限为 1 .,第二步,未考虑分母变化的所有情况,,解法2 令,此法忽略了 的任意性,,极限有可能不存在 !,分析:,解法3 令,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,分析:,由此知,该极限不存在。,讲教材P212例题,2 函数的连续性、可导、可微等,解:,矛盾,或按定义证明,由此可知,一阶偏导数不连续.,练习:教材P221 T13,多元函数连续、可导、可微的关系,,练习:教材P247 T1,解:,解:,解:,解题关键: 按定义求偏导数,例9,解:,按定义知:,强调:,解,例10,3 复合函数求导,例11,解,方程两边求微分, 得,解:,方程两边求微分, 得,化简,,消去 即可得,,,例13,解,4 极值问题,解题提示:,5 二重积分对称问题,测 验 题,测验题答案,
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