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13.1 第二型曲线积分(1-28).ppt

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第十三章 向量函数的积分,§13.1 第二型曲线积分,1º 向量场,(1) 场,(2) 向量场,向量场举例,1) 质量为 M 的质点置于原点所产生的引力场,质点 M 对位于 ( x , y , z ) 点处单位质点的引力:,2) 梯度场,设 u = f (x , y , z) , 则,是向量场 , 称为 梯度场 ,,有势函数的向量场称为有势场,引力场:,引力场是函数 形成的梯度场,是此引力场的势函数,引力场是有势场 ( 保守场 ),3) 流速场,若速度 与时间 t 无关 , 称为稳定流场,若速度 与时间 t 有关 , 称为不稳定流场,向量场的表示:,2º 第二型曲线积分,在曲线 L 上插入分点:,问题:,设有平面力场,,则有,若记,定义:,设 L 是一光滑 ( 或分段光滑 ) 的平面有向曲线 ,,在 L 上有定义且有界 ( 每个分量有界 ),设沿着曲线从 A 到 B 的移动方向为曲线的正方向,沿着曲线 L 的正方向依次插入分点:,如果极限,则称 沿有向曲线 L 从 A 到 B 点关于坐标可积 ,,记作 , 即,也就是,( 对坐标的曲线积分 ),可知:,P (x , y ) , Q (x , y )称为被积函数 ;,L 称为积分路径 ;,说明:,称为被积表达式 ;,称为第二型曲线积分的向量形式 ;,称为第二型曲线积分的坐标形式,(1) 第一与第二型曲线积分的区别 :,空间第二型曲线积分,可见:,3º 第二型曲线积分的基本性质,(1) 可积的充分条件,(2) 线性运算性质,(3) 区域可加性,(4) 有向性,即改变曲线的方向 , 积分改变符号,4º 第二型曲线积分的计算,在 L 上连续,因为 在 L 上取值,所以在 L 上有,故被积表达式可表示为,将 沿曲线 L 从 A 点到 B 点的累积 =,解,,解,,,设 M(x , y) 是 L 上的任意一点,则在 M 点处 , 有,所作的功 :,,第二型空间曲线积分的计算,则沿 L 从点 A 到 点 B 的第二型空间曲线积分 :,解,,当 t : 0  2 时 , 曲线上的点沿曲线的正向变化,5º 两类曲线积分之间的关系,两类曲线积分之间的关系,对于空间曲线积分 , 同样可得,说明:,(1) 若,若,,,,(2) 被积表达式 :,1),2),3),说明向量场在 L 上没有旋转净趋势,
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