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05_01(第19讲)第5章FIR滤波器线性相位.pdf

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数字信号处理 V. 2013 第 5章数字信号处理Digital Signal Processing第5章 有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法数字信号处理 V. 2013 第 5章第19讲 线性相位FIR滤波器的特点数字信号处理 V. 2013 第 5章5.0 序言FIR数字滤波器的差分方程描述∑−=−=10)()(Niiinxany∑−=−=10)(NiiizazH∑−=−=10)()()(Niinxihny∑−=−==10)()()(NiiizihzHiha对应的系统函数线性时不变系统可用卷积和表示数字信号处理 V. 2013 第 5章优点 :( 1)很容易获得严格的 线性相位 ,避免被处理的信号 产生相位失真,这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要;( 2 )可得到多带幅频特性;( 3 )极点全部在原点(永远稳定),无稳定性问题;( 4 )任何一个非因果的有限长序列,总可以通过一定的延时,转变为因果序列, 所以因果性总是满足;( 5)无反馈运算,运算误差小。缺点:(1)因为无极点,要获得好的过渡带特性,需以 较高的阶数 为代价;(2)无法利用 模拟 滤波器的设计结果,一般无解析设计公式,要借助计算机辅助设计程序完成。FIR数字滤波器的特点 (与 IIR比较 ):数字信号处理 V. 2013 第 5章IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论及设计图表进行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性,没考虑相位特性,所设计的滤波器一般是某种确定的 非线性相位特性 。为了得到线性相位特性,对IIR滤波器必须另外增加相位校正网络,使滤波器设计变得复杂,成本也高,又难以得到严格的线性相位特性。有限脉冲响应 (FIR)滤波器 在保证幅度特性满足技术要求的同时, 很容易做到有严格的线性相位特性。数字信号处理 V. 2013 第 5章H(z)是 z- 1的 N-1次多项式,在 z平面上有 N-1个零点,在原点 z=0处有一个 N-1重极点。因此, H(z)永远稳定 。稳定和线性相位特性是 FIR滤波器最突出的优点。FIR滤波器的设计方法和 IIR滤波器的设计方法有很大差别。 FIR滤波器设计任务是选择有限长度的h(n),使频率响应函数 H(ejω)满足技术指标要求。三种设计方法:窗函数法、 频率采样法 和 切比雪夫等波纹逼近法 。 ∑−=−=10)()(NnnznhzH用 N表示 FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)的长度,系统函数 H(z)为数字信号处理 V. 2013 第 5章5.1 线性相位 FIR数字滤波器的特性5.1.1 线性相位的条件∑−=−=10jje)()e(NnnnhHωω)(je)(ωϕωH=对于长度为 N的 h(n),频率响应函数为H(ω )称为 幅度特性 ; 称为 相位特性 。注意:这里 H(ω )不同于 |H(ejω)|, H(ω )为 ω 的实函数,可能取负值 ,而 |H(ejω)|总是正值 (幅频特性 )。)(je)(ωϕωjeH±=数字信号处理 V. 2013 第 5章αωωϕ −=)(线性相位即系统的相频特性是频率的线性函数:α为常数,此时通过系统的 各频率分量的时延为一相同的常数 。αωωϕτ =−=ddg)(αωβωϕ −=)(第一类线性相位第二类线性相位群时延数字信号处理 V. 2013 第 5章线性相位 FIR滤波器的 DTFT为(第一类线性相位)( ) ( )ωαωωjjeHeH−=H(ω )是正或负的实函数。等式实部与虚部的比值 : ()()() ( )() ( )∑∑1−0=1−0==NnNnnnhnnhωωαωαωcossincossin()∑−=−=10Nnnjenhω() ( )[]0=−∑1−0=Nnnnh ωαsin() ( )⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−=−=10121NnnNhnhNα第一类线性相位偶对称数字信号处理 V. 2013 第 5章第一类线性相位:偶对称21−=Nα数字信号处理 V. 2013 第 5章第二类线性相位,除了上述的线性相位外,还有一附加的相位,即αωβωφ −=)(() ( )⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−−=±=−=nNhnhN1221πβα利用类似的关系,可以推出:第二类线性相位奇对称数字信号处理 V. 2013 第 5章第二类线性相位:奇对称21−=Nα数字信号处理 V. 2013 第 5章αωωϕ −=)(线性相位总结αωπωϕ −±=2)(第一类线性相位第二类线性相位() ( ) 101 −≤≤−−= NnnNhnh() ( )nNhnh −−−= 1偶对称奇对称21−=Nα数字信号处理 V. 2013 第 5章( )ωϕωπ20π)1( −− N( )ωϕωπ20π)5.0( −− N2π−偶对称)(nh奇对称)(nh图1 线性相位特性αωωϕ −=)(αωβωϕ −=)(第一类线性相位第二类线性相位⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=−=221πβαN数字信号处理 V. 2013 第 5章分四种情况:5.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性偶对称 N偶数 偶对称 N奇数奇对称 N偶数奇对称 N奇数数字信号处理 V. 2013 第 5章1. h(n) 偶对称, N为奇数 h(n)=h(N-1-n)数字信号处理 V. 2013 第 5章∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/)3(021cos)(221)(NnNnnhNhH ωω()31112222012NNNNjjnjnnNehneehωωω−−−−⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞−⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠=⎧ ⎫−⎪ ⎪⎛⎞=++⎨ ⎬⎜⎟⎝⎠⎪ ⎪⎩⎭∑ωωφ21)(−−=N()31220112cos22NNjnNNehnnhωω−−⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=⎧ ⎫⎡−⎤−⎪ ⎪⎛⎞⎛⎞=−⎨ ⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪ ⎪∑()()()31212012NNjjN njjnnNHe hn e e h eωωωω−−⎛⎞−⎜⎟−−−−⎝⎠=−⎛⎞⎡⎤=++⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑数字信号处理 V. 2013 第 5章令,则21−−=Nnm∑−=+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/)1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH ωω21,,2,1,212)(,21)0(−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=NnnNhnaNhaL()∑−==2/10cos)(NnnnaH ωω令则由于 偶对称,因此对这些 频率也呈偶对称 。ππωω 2,,0cos =关于n( )ωH(1)/2111() 2( )cos22NmNNHh h mmω ω−−=−−−⎛⎞=+ +⎜⎟⎝⎠∑π 2π0数字信号处理 V. 2013 第 5章21,,2,1,212)(,21)0(−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=NnnNhnaNhaL()∑−==2/10cos)(NnnnaH ωω数字信号处理 V. 2013 第 5章2. h(n)偶对称, N为偶数 h(n)=h(N-1-n)()∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=12/021cos)(2NnNnnhH ωω令,则12Nnm= −+()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=2/121cos122NmmmNhH ωω() () ()()∑∑−=−−−−=−−−+=12011201NnnNjNnnjjenNhenheHωωω()120121cos22NmNHhmmωω−+=⎡ ⎤⎛⎞⎛⎞=−+ −⎜⎟⎜⎟⎢ ⎥⎝⎠⎝⎠⎣ ⎦∑()∑−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=1202121cos2NnNjNnnhe ωω()()[]∑−=−−−−+=1201NnnNjnjeenhωω数字信号处理 V. 2013 第 5章()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∑=nNhnbnnbHNn122)(21cos)(2/1ωω写为:也为 奇对称 ,且由于 时,( )ωHπω=处必有一零点,因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器,如高通、带阻滤波器。1)(,0)( −== zzHH 在故π( ) 0≠ωHπω=由于 奇对称,所以对( )( ) πωω =− 对2/1cos nπω=( )( ) ,02/1cos =−nω0 2ππ数字信号处理 V. 2013 第 5章()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/121cos)(NnnnbH ωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−= nNhnb 122)(数字信号处理 V. 2013 第 5章3. h(n)奇对称, N为奇数, h(n)=-h(N-1-n)() () ()∑∑−+=−−=−+=121230NNnnjNnnjjenhenheHωωω()∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=23022121sin2NnNjNnnhe ωπω()()[]∑−=−−−−−=2301NnnNjnjeenhωω)]21(sin[)(2)(230∑−=−−=NnNnnhH ωω()()∑−=−−−−−2/3011NnnNjenNhω数字信号处理 V. 2013 第 5章令 n=m+(N-1)/2,得:()∑−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=2/)1(1sin212NmmmNhH ωω)]21(sin[)(2)(230∑−=−−=NnNnnhH ωω() ωω mmNhHNm∑−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=211sin212()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==∑−=nNhncnncHNn212)(sin)(211ωω数字信号处理 V. 2013 第 5章()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==∑−=nNhncnncHNn212)(sin)(211ωω由于 点呈奇对称,所以对这些点也 奇对称 。ππωω 2,,0sin =对n( )ωH由于 时,相当于 H(z)在 处有两个零点,不能用于的滤波器设计,故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。 (带通 )ππω 2,,0= ( ) ,0,0sin == ωω Hn( ) 00)0( ≠≠ πHH 和1±=z02ππ数字信号处理 V. 2013 第 5章()∑−==211sin)(NnnncH ωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−= nNhnc212)(数字信号处理 V. 2013 第 5章4. h(n)奇对称, N为偶数() ()∑−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=12022121sin2NnNjjNnnheeH ωπωω)]21(sin[)12(2)(21∑=−+−=NmmmNhH ωω12+−=Nnm令1201() 2( 1 )sin[( )]22NmNHhmmωω−+==−+ −∑()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/121sin)(NnnndH ωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−= nNhnd 122)(数字信号处理 V. 2013 第 5章()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2/121sin)(NnnndH ωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−= nNhnd 122)(02ππ由于 在ω =0,2π处为零,所以H(ω )在ω =0, 2π处为零,即 H(z)在 z=1上有零点 ,并对ω =0,2π呈奇对称 。(高通、带通)数字信号处理 V. 2013 第 5章四种线性相位 FIR滤波器数字信号处理 V. 2013 第 5章参考表 5.1第一种情况 ,偶、奇,四种滤波器都可设计。第二种情况,偶、偶,可设计低、带通滤波器,不能设计高通和带阻。第三种情况,奇、奇,只能设计 带通 滤波器,其它滤波器都不能设计。第四种情况,奇、偶,可设计高通、带通滤波器,不能设计低通和带阻。总结:四种线性相位 FIR DF特性1±=zz=1
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