• / 37
  • 下载费用:10 金币  

6.曲线积分(重修2011).ppt

关 键 词:
6.曲线积分(重修2011).ppt
资源描述:
曲线积分,,III、格林公式及其应用,I、 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分),II、 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分),一、对弧长的曲线积分的概念与性质,1.曲线型物体的质量,,设一曲线型细长构件,在xoy面上占有一段曲线弧L,端点为A,B,在AB上任一点的线密度为(x,y),求这构件的质量。,2.对弧长的曲线积分的定义,I、 对弧长的 曲线积分,2.定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数 f (x,y)在L上有界。若对L的任意分割和对局部的任意取点,,乘积的和式 的极限总存在,则,称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,其中f (x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。,依上定义,有,3.几点说明,(3)如L是光滑的或分段光滑的简单闭曲线,常记作:,(2)定义可推广到空间的曲线Γ上的曲线积分,(1)f (x,y)在L上连续,,4.对弧长的曲线积分的性质,(1)关于被积函数的线性性质,(2)对于路径的可加性,(3)无方向性,其中L=L1+L2,(4)对称性1) 如L关于y轴对称,L1是L的右半支,则,当L关于x轴对称时有类似的结论。,5. 对弧长的曲线积分的计算方法,1) 定理设L的参数方程为 :,计算方法:化为对参数的定积分,,“一代”:将x=(t),y=(t) ,代入被积函数f (x,y);,“三定限”:下限小上限大。,“二换”:将ds换成,“一代二换三定限”,2) 几种变形 ①如L:y=y(x),a≤x≤b则,②如L:x=x(y), c≤y≤d则,③如,3) 举例,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),解:,ds=adθ,A(0,1,1),B(1,3,-1),解:,的参数方程为x=t,y=1+2t,z=1-2t。(0≤t≤1),例4 填空,L的长度为a,解(1):,又L关于x轴对称,而sin(xy)关于y为奇函数,所以,于是 I = 12a。,即3x2+4y2=12,所以,例5. 设 C 是下列曲线,所围区域的边界, 求,解: 分段积分,,,,,,II、对坐标的曲线积分,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.对坐标的曲线积分的定义,定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有界。,总存在,则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记作,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记作,其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。,即,以上两个积分也称为第二类曲线积分。,2.几点说明,(1)可积性,,(2)组合型,(3)可推广到空间曲线的情形,3.性质,(2)关于曲线积分路径的可加性,其中L=L1+L2(方向一致),(3)方向性,(1)关于被积函数的线性性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,二、对坐标的曲线积分的计算方法,1.设L的参数方程为,当参数t单调地由α变到β时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B。,计算方法:化为对参数的定积分,“一代二定限” “一代”:将x=(t),y=(t) 代入被积式。 “二定限”:下限α→起点,上限β→终点,不一定有αβ,2.几种变形,(1)L由y=y(x)给出时,将x视作参数,a对应L的起点,b对应L的终点。,(2)L由x=x(y)给出时,将y视作参数。,(3)对于空间曲线,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1) 到点B(1,1)的一段弧(如图),第二种方法:将所给积分化为对y的定积分来计算。,解:第一种方法:将所给积分化为对x的定积分来计算.,例2,解,,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,,,,,,,III、 格林公式及其应用,一、格林公式,1.单连域与复连域,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域。,D的边界曲线L的正向规定如下:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在它的左边。,2.格林公式,设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数 P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导 数,则有,3.格林公式的应用举例,当D的边界曲线由参数方程得出时,由(4)式可求D的面积。,例1,(4),例如 椭圆,(1). 计算平面面积,(2). 简化曲线积分,L:y=sinx从O(0,0)到A(π,0)。,解:可直接化为对x的定积分,但计算量较大。这里用格林公式。,解,例6,取适当的l:x2+y2=r2,使
展开阅读全文
  微传网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
0条评论

还可以输入200字符

暂无评论,赶快抢占沙发吧。

关于本文
本文标题:6.曲线积分(重修2011).ppt
链接地址:https://www.weizhuannet.com/p-9796958.html
微传网是一个办公文档、学习资料下载的在线文档分享平台!

微传网博客

网站资源均来自网络,如有侵权,请联系客服删除!

 网站客服QQ:80879498  会员QQ群:727456886

copyright@ 2018-2028 微传网络工作室版权所有

     经营许可证编号:冀ICP备18006529号-1 ,公安局备案号:13028102000124

收起
展开