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6.定积分应用.ppt

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6.定积分应用.ppt
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定积分应用,上一章,已经系统地介绍了定积分的基本理论和计算方法。在这一章中,将利用这些知识来分析解决一些实际问题。定积分的应用很广泛,在自然科学和生产实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问题。本章不仅对一些几何物理量导出计算公式,更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归结为计算某个定积分的分析方法。,重点,微元法,面积,弧长,旋转体的体积,定积分在物理方面的应用,,微元法,参数方程确定的曲线所围的面积,定积分在物理方面的应用。,基本要求,①正确理解和掌握微元法的基本思想,并会灵活运用它。,②会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出的三种求积公式求出一些常见图形的面积。,③会求旋转体的体积,④ 会求平面曲线的弧长,⑤会用定积分解决物理方面的实际问题。,难点,通过对不均匀量(如曲边梯形的面积,变速直线运动的路程)的分析,采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值,并由此抽象出定积分的概念,我们发现,定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么,究竟哪些量可以通过定积分来求值呢?我们先来回顾一下前章中讲过的方法和步骤是必要的。,定积分的微元法,求U的步骤,分,用分点,,将,区间分成n个小区间,,粗,把U在小区间上的局部量,,用某个函数 f ( x) 在,,的值与,,之积代替,,和,把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即,,设量U非均匀地分布 [ a ,b ]上,,,由此可知,若某个非均匀量U在区间[a,b]上满足两个条件:,(1) 总量在区间上具有可加性,即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和,,(2)局部量可用,,近似表示,它们之间只相差一个,,的高阶无穷小,不均匀量U就可以用定积分来求得,精,分析其实质,不难将四步简化为两步,第一步 “分割取近似”,含“分”、“粗”两步即将区间分成子区间,在其上用均匀变化近似代替非均匀变化,求得局部量的近似值,,它对应着积分表达式中的被积式,,第二步“求和取极限”,含“和”、“精”两步: 各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值,这是建立所求量的积分式的基本方法,即对被积式作积分,,Ⅰ。求微元,写出典型小区间,,上的局部量,,的近似值,,这就是局部量的微元,Ⅱ。求积分,即把微元,,在区间 [ a , b ] 上,相当于把,,作积分表达式,求它在 [ a , b ] 上的定积分,即,,这就是微元法,“无限积累”起来,
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