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6[1].3.2空间曲线.ppt

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6[1].3.2空间曲线.ppt
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一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,,其一般方程为方程组,,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线 C.,下页,6.3.2 空间曲线的一般方程,,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线C.,上页 下页,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:,称为空间曲线的参数方程.,上页 下页,,如直线 的参数方程为,上页 下页,例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周,动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程.,运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个,解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动,方向为z轴的正方向. 选取x轴,,使得在t = 0时, P在x轴的正半,轴上.,设此时P的横坐标为a,,角速度为ω, 匀速直线运动的,速率为v.,设在t 时刻, P的坐标,为(x, y, z) .,由P向xoy平面作垂,线,垂足为M (x, y, 0) . 则,上页 下页,则∠AOM = ωt , |OM| = a,,于是,于是圆柱螺线有参数方程,上页 下页,圆柱螺线的一般式方程为,或,由此可见, 圆柱螺线在圆柱面 上.,例4. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,,,(2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向的柱面.,,,,上页 下页,1 定义,的射影,以平面,的法向量,为母线,2 方程,由上节知, 以 为准线, 母线分别平行于x 轴, y轴,,z轴的柱面就是Γ对yoz, zox, xoy坐标面的射影柱面.,三、空间曲线在坐标面上的投影,因此, 曲线,(1),上页 下页,,对zox 面的射影柱面方程为,为,,对xoy 面的射影柱面方程为,曲线,称为曲线 在平面,上的射影曲线.,对于平面,的射影柱面,与平面,的交线,上页 下页,定义,思考:,在三坐标面上的射影曲线方程如何?,曲线,为,上页 下页,方程为,则它在 面上的射影曲线方程,同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程.,分别为,曲线,与曲线 有何关系?,设曲线 对于 面和 面的射影柱面方程,整个抛物柱面),,面的射影柱面以及投影曲线.,知,的椭圆柱面;,这是因为由该方程组的第一个方程,上页 下页,又如,,在xoy 面上的投影曲线方程为,,上页 下页,再如,,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围之域 .,上页 下页,,即,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,,,(2),,,(1),,,一些图形示例:,上页 下页,1 两曲面的交线,(3),,,上页 下页,,,,,,,,,上页 下页,x,(4),,,思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,,上页 下页,(5),,,上页 下页,2 曲面所围成的空间区域,,(1),所围成的空间区域.,,,,上页 下页,(2),,所围成的空间区域.,,,上页 下页,(3),所围成的空间区域.,,,上页 下页,所围空间区域分别在,xoy与xoz面上的投影区域.,3 曲面所围成的空间区域 在坐标面上的投影区域,练 习 题,备用题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解:,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,,它与所给平面的,上页 下页,作业 P108 4; 5;11; 16,练习题答案,
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