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8-5第二型曲面积分.ppt

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8-5第二型曲面积分.ppt
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,,,,,,,,,,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,,,,,,,,,,,,,,,8-5 第二型曲面积分,1. 双侧曲面,动点在双側曲面上连续移动(不跨越曲面的边界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,对坐标的曲面积分,必须指定曲面的侧.可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧.如曲面z=z(x,y),若它的法向量n的指向朝上,就认为取定曲,面的上侧;对于闭合曲面,若取它的法向量的指向朝外,则认为取定曲面的外侧。曲面法向量的指向决定曲面的侧.选定了侧的曲面称为有向曲面.,通常遇到的曲面都是双侧的曲面.,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,• 设 S 为有向曲面,,其面元,在 xOy 面上的投影,的面积为,则规定,,类似可规定,曲面元素的投影,记为,2. 第二型曲面积分的概念,实例: 流向曲面一侧的流量.,设有一河道,并假定河道中每一点的水流速度与时间无关,只与点的位置有关.设河道中每一点(x,y,z)处的水流速度向量为,由假定在河道中有一双侧曲面S,并在S上选定一侧.求在单位时间内水流沿选定一侧的质量即流量m.,,,,现在考虑的不是平面闭区域而是一片曲面,且流速 是变量.,1. 分割,则该点流速为,单位法向量为,,,,,2.近似替代,3. 求和,通过S流向指定侧的流量,,该点处曲面S的单位法向量,4.取极限,.,得到流量 m 的精确值,第二型曲面积分的定义,设S是一个分片光滑的双侧曲面,,记选定一侧的单位法向量为,假设在S上给定了一个向量函数,将S分割成n个不相重叠的小曲面片,在 上任取一点,作和式,令 是 中直径的最大者,在S上选定了一侧,,若和式对S的任意一种分割及中间点,的任意的选取,当 时总有极限,,则称此极限为向量函数 在S所指定一侧上的第二型曲面积分,也称为对坐标的曲面积分,或,其中 与 为同一个曲面的两个相反的定向.,(2)若积分 与 存在, 则,其中 为任意常数.,第二型曲面积分的性质,其中 由互不重叠的两个曲面 组成.,,第二型曲面积分可表示成第一型曲面积分的形式和坐标的形式,第二型曲面积分可写成,,第一型曲面积分,,为 在,平面上的有向投影面积.,(上正下负),,的几何意义:,(前正后负),(右正左负),记为,记为,所以有,第二型曲面积分的坐标形式,则,,,第一型曲面积分,,第二型曲面积分的坐标形式,称为P 在有向曲面S上对坐标 y, z 的曲面积分;,称为Q 在有向曲面S上对坐标 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面S上对坐标 x, y 的曲面积分;,若以 -S 表示曲面 S 的另一侧,则由定义可得,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,3. 第二型曲面积分的计算,第二型曲面积分可化成第一型曲面积分计算,例1 求,解,因为曲面的定向为外侧法向量,故取法向量为(x,y,z),那么单位法向量,因,即,法向量指向上侧时取正,指向下侧时取负.,单位法向量的方向余弦是:,曲面 在点 处的法向量为,例如,将第二型曲面积分直接化成二重积分的关键是正确理解曲面S的面积元dS在坐标平面上的有向投影.,(8.10),上述就是把第二型曲面积分化为二重积分的公式, 其中正负号由S的定向决定:法向量指向上侧取正号, 指向下侧取负号.,公式表明将第二型曲面积分化为二重积分,只需把 P,Q,R中的z换成f(x,y,),再将P,Q,R 分别乘以然后相加,就构成二重积分的被积函数 .而二重 积分的积分区域D 是曲面S 在oxy平面上的投影.再根据S 的指向,确定取“+”还是取“-”.,解,这里P=0,Q=yz,R=zx,,于是,注意:,,,解 S由单位球面在第一挂限及第五挂限的部分组成, 它们的方程分别为,由题设 的法向量的指向朝下, 的法向量的指向朝上. 与 在oxy 平面上的投影为同一区域,被积函数中P=Q=0,R=xyz,故化为二重积分时,被积函数为,其中,======,代入上式得,设光滑曲面,(上侧正下侧负),,上侧 下侧,(单值),若光滑曲面,右侧 左侧,(右侧正左侧负),特别有,右侧 左侧,(右侧正左侧负),若光滑曲面,前侧 后侧,,(前侧正左侧负),特别有,前侧 后侧,(前侧正左侧负),小结:,曲面,上侧,下侧,(上侧正下侧负),曲面,前侧,后侧,(前侧正后侧负),右侧,左侧,曲面,(右侧正左侧负),光滑曲面,(上侧正下侧负),,上侧 下侧,(前侧正后侧负),光滑曲面,前侧 后侧,(单值),(单值),小结:,光滑曲面,,右侧
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