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8.3Runge-Kutta方法.ppt

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华长生制作,1,8.3 Runge-Kutta法,数值分析,第八章 常微分方程数值解,华长生制作,2,8.3 Runge-Kutta法,,,,基于Taylor展开式可以建立任意精度的单步法,而,所以,可以构造格式,这种格式使用到了各阶偏导数,使用不便。,华长生制作,3,考虑改进Euler法,如果将其改成,----------(1),,,,,华长生制作,4,改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成,梯形公式具有2阶精度,形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法,同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度,,,改进Euler法 由 f 在某些节点的函数值的线性组合代替 的高阶导数值。,华长生制作,5,基本思路,华长生制作,6,华长生制作,7,推广,这种单步法称为Runge-Kutta方法,简记为R-K公式.,华长生制作,8,,,从积分形式上看,,若要使公式阶数提高,就必须使右端积分的数值求积公式 精度提高,必然要增加求积节点.,,点数 越多,精度越高。,华长生制作,9,二阶显式R-K方法,对 的R-K方法,计算公式如下,(8.6),这里 均为待定常数.,希望适当选取这些系数,使公式阶数 尽量高.,根据局部截断误差的定义,(8.6)的局部截断误差为,(8.7),华长生制作,10,这里 .,为得到 的阶 ,要将上式各项在 处做泰 勒展开,,由于 是二元函数,故要用到二元泰勒展开,,其中,各项展开式为,(3.8),华长生制作,11,将以上结果代入局部截断误差公式则有,要使公式(8.6)具有 阶,必须使,华长生制作,12,即,(8.9)的解是不惟一的.,令 ,则得,这样得到的公式称为二阶R-K方法,,如取 ,则,这就是改进欧拉法.,(8.9),,华长生制作,13,若取,则 .,称为中点公式,,(8.10)也可表示为,得计算公式,(8.10),相当于数值积分的中矩形公式.,的R-K公式(8.6)的局部误差不可能提高到 .,,华长生制作,14,把 多展开一项,从(8.8)的 看到展开式中的项是不能通过选择参数消掉的.,实际上要使 的项为零,需增加3个方程,要确定4个 参数 ,这是不可能的.,故 的显式R-K方法的阶只能是 ,而不能得 到三阶公式.,华长生制作,15,三阶与四阶显式R-K方法,要得到三阶显式R-K方法,必须 .,(8.11),其中 及 均为待定参数.,公式(8.11)的局部截断误差为,华长生制作,16,只要将 按二元函数泰勒展开,使 ,,可得待定参数满足方程,(3.12),华长生制作,17,这是8个未知数6个方程的方程组,解也不是惟一的. 所以,这是一簇公式.,满足条件(8.12)的公式(8.11)统称为三阶R-K公式.,一个常见的公式为,此公式称为库塔三阶方法.,华长生制作,18,继续上述过程,经过较复杂的数学演算,可以导出各 种四阶龙格-库塔公式,下列经典公式是其中常用的一个:,可以证明其截断误差为 .,四阶龙格-库塔方法的每一步需要计算4次函数值 ,,(8.13),华长生制作,19,Runge-kutta方法的阶与级的关系,在Runge-kutta计算格式(RK)中.计算函数值 f 的次数 R 称为级, 级数与阶数是不同的, 可以证明R级Runge-kutta公式的 最高阶数是 R . 通常所说的 R 级 m 阶Runge-kutta公式指要计算 R个f(x,y)的函数值, 且对应的计算公式是 m 阶的.,Butcher得出如下Runge-kutta方法的级数R与阶数m的对应关系:,因此, 通常使用4级4阶Runge-kutta公式(RK4).,华长生制作,20,应当注意,高阶R-K公式的推导是基于初值问题的解y(x)的Taylor展开,因而要求y(x)具有较好的光滑性。如果解y(x)的光滑性较差,虽然使用高精度的R-K公式,有时甚至没有使用低精度的公式效果好。,华长生制作,21,例,解,这里 ,经典的四阶龙格-库塔公式为,华长生制作,22,表9-3列出了计算结果,同时列出了相应的精确解.,华长生制作,23,变步长的龙格-库塔方法,单从每一步看,步长越小,截断误差就越小,但随着 步长的缩小,在一定求解范围内所要完成的步数就增加了.,步数的增加不但引起计算量的增大,而且可能导致舍 入误差的严重积累.,因此同积分的数值计算一样,微分方程的数值解法也 有个选择步长的问题.,在选择步长时,需要考虑两个问题:,1. 怎样衡量和检验计算结果的精度?,华长生制作,24,2. 如何依据所获得的精度处理步长?,考察经典的四阶龙格-
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