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球的体积和表面积公式具体推导过程.pdf

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球的体积和表面积公式具体推导过程.pdf
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13.2 球的 体积 和表面积 ( 1) 教学目的 : 使掌握了解球的体积公式的推导过程,能记住球的体积公式,并会用公式 解决问题。 教学重点 : 掌握球的体积公式及其应用。 教学难点 : 球的体积公式推导是教学的难点。 教学过程 一、复习提问 柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么? 二、新课 设球的半径为 R,将半径 OAn 等分,过这些分点作平面把半球切割成 n 层,每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于 圆柱的体积。它的高就是 “小圆片”的厚度 nR ,底面就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第 i 层(由下向上数)“小圆片”的下底面半径: 22 )]1([  inRRri ,( i= 1,2,3, ··· , n) 第 i 层“小圆片”的体积为: V≈ π 2ir · nR =  23 11ninR,( i= 1,2,3, ··· , n) 半球的体积: V 半径= V1+ V2+ ··· + Vn ≈ nR3 {1+( 1-221n )+( 1-222n )+ ··· + [ 1-22)1( nn ] } = nR3 [ n-2222 )1(21 n n  ](注: )12)(1(6121 222  nnnn) = nR3 [ n- 6 )12()1(12  nnnn=23 6 )12)(1(1( n nnR )=  6)12)(11(13 nnR ① 当所分的层数不断增加,也就是说,当 n 不断变大时, ① 式越来越接近于半球的 体积,如果 n 无限变大,就能由 ① 式推出半径的体积。 事实上, n 增大, n1 就越来越小,当 n 无限大时, n1 趋向于 0,这时,有 V 半径 = 332R ,所以,半径为 R 的球的体积为: V= 334R 13.2 球的体积和表面积( 2) 教学目的 :使掌握了解球的表面积公式的推导过程,能记住球的表面积公式,并会用 公式解决问题。 教学重点 : 掌握球的表面积公式及其应用。 教学难点 : 球的表面积公式推导是教学的难点。 教学过程 一、复习提问 柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么? 二、新课 球的表面积推导方法 ( 设球的半径为 R,利用球的体积公式推导类似方法 ) ( 1)分割。把球 O 的表面分成 n 个“小球面片”,设它们的表面积分别是 S1, S2, „„ Sn,那么球的表面积为: S= S1+ S2+ „„ + Sn 把球心 O 和每一个“小球面片”的顶点连接起来,整个球体被分成 n 个以“小球 面片”为底,球心为顶点的“小锥体”。例如,球心与第 i 个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点 O 为顶点,以第 i 个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分,底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小,那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的,(好象地球一样),这时,每一个“小锥体”就近 似于棱锥,它们的高近似于球的半径 R。 ( 2)求近似和。设 n 个“小锥体”的体积分别为 V1, V2, „ , Vn 那么球的体积为: V= V1+ V2+ „ + Vn 由于“小锥体”近似于棱锥,所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第 i 个“小锥体”对应的棱锥以点 O 为顶点,以点 O 与第 i 个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为 hi,底面面积为 S’i,于是,它的体积为: V’i= 31 hi S’i,( i= 1,2,„ , n) 这样就有: Vi≈ 31 hi S’i, ( i= 1,2,„ , n) V≈ 31 ( h1 S’1+ h2 S’2 + „ + hn S’n) ① ( 3)转化为球的表面积。 分割得越细密,也就是每一个“小球面片”越小,“小锥体”就越接近于棱锥,如果分割无限加细,每一个“小球面片”都无限变小,那么 hi ( i= 1,2,„ , n)就趋向于 R, S’i 就趋向于 Si,于是,由① 可得: V= 31 RS 又 V= 334R ,所以,有 334R = 31 RS 即: S= 4πR2 例 5、图 1.3- 10 表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 1m,高为 3m 的圆柱形物体,上面是一个半球体,如果每平方米大约需要鲜花 150 朵,那么装饰 这个花柱大约需要多少朵鲜花( π 取 3.1)? 分析:花柱的表面积是圆柱的表面积和半球的表面积,求出总面积乘于 150 朵, 就是大约需要的鲜花朵数。 练习: P30 1
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