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电动力学 第二章 习题解答1.pdf

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华中师大 陈义成 - 16 -第二章 习题解答 2.1 有两个电量相等的点电荷相距为 2b , 在他们中间放置一个接地的半径为 a的导体球,试求能抵消二电荷斥力的导体球最小半径的近似值. 【解】由镜像法,球外电场为两个给定 电荷 q+ 与两个像电荷 q′ 所共同产生的电场。 像电荷的大小aqqb′ =− ,他们分别位于球 心两边,与球心的距离bab2'= ,如图所示。 对每个给定的点电荷 q说,除受另一个 q+ 电荷斥力之外,还受两个像电荷的引力作用。若使这些力相互抵消,要求 ()222222222aaqqqbbbaabbbb=+⎛⎞⎛⎞−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠对满足上式 a的最小值, ab .问应给予这个球多少电荷才能使球面上的面电荷处处为正值.如果球外是负电荷呢? 【解】以球心与点电荷所在点的连线为 z 轴,原点为球心,建立直角坐标系。为保证导体球面为等势面, 导体球面的作用可以用点20, 0, ar⎛⎞⎜⎟⎝⎠处的电荷aqr⎛⎞−⎜⎟⎝⎠及球心( 0, 0, 0)处的点电荷aqr⎛⎞⎜⎟⎝⎠代替。这样,在点 ),0,0(+a 处,场强 Enull为 () ()()2222014π ()zarq arqqEearaaarε⎡⎤⎢⎥=−−−−⎣⎦nullaqq q′b′ b′Oq′华中师大 陈义成 - 17 -()22014π ()()zraqqqear ra raε⎡⎤=−−⎢⎥−−⎣⎦null显然,在( 0, 0, a)处,有最大的负感应面电荷密度,由上式,知其为: 0 22114π ()()znqraEar ra raσε⎡ ⎤== − −⎢ ⎥−−⎣ ⎦如果给予球的电量为 Q,则 Q均匀分布在球面上(球面上已有感应电荷分布) ,为使处处大于零,应有24πzQa σ− ,即 2222211 (3)4π 1() ()raraQaaq qara ar rraσ⎡⎤−⎛⎞− = + ⋅ − =⎜⎟⎢⎥−−⎝⎠⎣⎦在( 0, 0, a− )处,场强为 220114π ()()zqraEera ra raε⎡ ⎤=− + −⎢ ⎥++⎣ ⎦nullnull如果 qq −→ ,则在( 0, 0, a− )处有最大的负感应电荷密度,由上,所需 Q为 220220114π 4π4π ()()qraQaara ra raσεε⎡ ⎤−≥− ⋅ =− + −⎢ ⎥++⎣ ⎦22(3 )()qa r arr a+=+2.3 在均匀电场0Enull中置入半径为0R 的导体球,使用分离变数法求下列两种情况的电势: (一)导体球上接有电池,使球与地保持电势差0Φ ; (二)导体球上带总电荷 Q。 【解】 (一)导体球接电池 一、选坐标系 取原点在球心的球坐标, z 轴沿0Enull方向。 二、方程 由于自由电荷只分布在球面上,故球内外电势1ϕ 、2ϕ 均满足拉普拉斯方程: 02=∇ ϕ 三、对称性与通解形式 本问题有轴对称性,故通解为: 1021: (1): (cos ) (2)n nnnnnbaR PRϕϕθ+=Φ⎧⎪⎨ ⎛⎞=+⎜⎟⎪⎝⎠⎩∑球内球外四、边值关系和边界条件 (1) 200cosRERϕ θ ϕ→∞=− + ( 3) 华中师大 陈义成 - 18 -(2) 00102)()( Φ== RR ϕϕ ( 4) 五、求解 将( 2)代入( 3) ,得 00cos)(cos ϕθθ +−=∑REPRannnn由此得: 00100, ( 0, 1)naaEanϕ=⎧⎪=−⎨⎪=≠⎩代入( 4)得 000 010cos (cos )nnnnbER PRϕθ θ+−+ =Φ∑由此得 30000100( ) , , 0, ( 0, 1)nbRbERbnϕ=Φ− = = ≠ 于是 103000 00200 2(5)()cos cos (6)RERERRRϕϕϕϕ θ θ=Φ⎧⎪⎨ Φ−=− + +⎪⎩(二)导体球上带总电荷 Q,这时 000200/21020cos (7)(8)d RRRRRSRRERQSnϕϕ θϕϕϕε=→∞===−==Φ∂−=∂∫∫null(9)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩与上一问题类似,得 θϕθϕϕ cos)(cos230000/0002RRERRRE +−Φ+−= 而 θϕθϕϕcos2)(cos3300200/0022RRERRERn−−Φ−−=∂∂=∂∂代入( 9) : /2ππ20000000d3cos sindERRϕφ θθθ
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