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高一数学竞赛班选拔考试初稿.doc

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10 年高一数学竞赛班选拔考试考试时间: 试卷总分:120班级: 姓名: 学号:一.填空题(每小题 8 分,共 80 分)1. 化简: 的结果是 .53-2. 在凸 边形的所有内角中,锐角的个数最多是 个.n()3. 设 ,则0a1,b222222()(1)(1)()abab(填“≥” , “≤” , “>” , “<” , “=” ).4. 如下图 中, 为直角, 所对的边分别为 ,已知RtABCABC、 、 c、 、,则 (用 表示).tanban2abc、 、5. 已知: ( 是自然数) ,那么 = .11(20)nnx nx)1(26. 已知点 在直角坐标系中的坐标为 , 为坐标原点, ,且 到P(0,)O0QPO的距离为 ,则 的坐标为 . Q27. 一个一次函数图象与直线 平行,与 轴、 轴的交点分别为 ,并且过点54yxyAB、,则在线段 上(包括端点 ) ,横、纵坐标都是整数的点有 个.(7,5)ABAB、8. 如图,在平行四边形 中,过 三点的圆交 于 ,且与 相切,若CDC、 、 DEC,则 的长为 .4,ABE9. 已知锐角 的顶点 到垂心 的距离等于其外接圆半径,则 的度数是 .ABCHA10. 已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为 ,与 轴的交2(0)yxbcxB、 y点为 .设 的外接圆的圆心为点 ,它与轴的另一个交点为 .如果 恰好为PD的直径且 ,则 , .PABCSc二.解答题(第 11 题 15 分,第 12 题 25 分,共 40 分)11. 求证方程 没有正整数解.331xy12.已知 都是正整数,抛物线 与 轴有两个不同的交点 ,abc、 、 2yaxbcxAB、若 到原点的距离都小于 ,求 的最小值.AB、10 年高一数学竞赛班选拔考试参考答案一.填空题1. 153解: 5(1)-51332. 3解:由于任何凸多边形的外角之和都是 ,故外角中钝角的个数不超过 3 个,即内角中036锐角最多不超过 3 个.3. 解: 借助下图知题中 222222(1)()(1)()abbabab||||ODCABD(||)(||)||2OAC4. bac解:如图,延长 ,以 为圆心,以 为半径作圆交 的延长线于 ,如下图CBcBD故在 中, , RtDCA2BtantACbDac5. 1()20n解: 22(01)4nnx22112 21()(0)4nnnn11112 1()[(02)(0)](20n nnnnnx 6. 3,),或 -解:借助平面直角坐标系我们知道, 点有两个:图中 ,它们关于 轴对称Q12Q与 y如图, 012,|QPO, ,3N13PN,1(,)2(,)7. 4 解:在直线 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是 ,AB74,25xNy( 是N整数),在线段 上这样的点应满足 740250且∴ 即 754235N, , ,8. 165解: 如图连结 AC、CE由 AE∥BC,知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 AC=BE=5又因为 DC∥AB,DC 与圆相切,所以,∠BAC=∠ACD=∠ABC则 AC=BC=AD=5,DC=AB=4因为 ,故 2DCAE2165DCA9. 06解: 锐角 的垂心在三角形内部 ABC如图,设 的外心为 , 为 的中点, 的延长线交⊙ 于点 ODBCOE连 、E则 // , //H则 O2003,6BD所以 AEC10. 2,1解: (1)首先我们证明点 是定点由题意:易求得点 的坐标为 ,设(0,)c12(,0),AxB则 ,12xb12x设 与 轴的另一个交点为 ,PAyD由于 是 的两条相交弦,它们的交点为点 ,BC、 AO所以 , 则 O12||0|xABcC因为 ,所以点 在 轴的负半轴上,0cy A ECB DO H从而点 在 轴的正半轴上,所以点 为定点,它的坐标为 . DyD(0,1)(2)再求 的值bc、因为 ,如果 恰好为 的直径,则 关于点 对称,ABCABPC、 O所以点 的坐标为 , 即 .(0,1)c又 ,22221||)4()4xxbc所以 解得 2ABCSOb 3二.解答题11. 证: 由原方程得 22())1yxyx11 是
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