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高中一年级数学函数经典题目和答案解析.doc

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WORD 格式整理版学习指导参考1函数解析式的特殊求法例 1 已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x1, 求 f(x)的解析式 奎 屯王 新 敞新 疆例 2 若 ,求 f(x) 奎 屯王 新 敞新 疆xxf21()例 3 已知 ,求xxf)( )1(f例 4已知:函数 的图象关于点 对称,求 的解析式)(2xgyxy与 )3,2()(xg例 5 已知 f(x)满足 ,求xf3)1(2)(f2函数值域的特殊求法例 1. 求函数 ]2,1[x,52y的值域。例 2. 求函数 2x1的值域。例 3求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域例 4. 求 函 数 1eyx的 值 域 。例 1下列各组中的两个函数是否为相同的函数?① 3)5(xy52xy② 11 )1(2WORD 格式整理版学习指导参考③ 21)5()xf 5(xf2若函数 的图象经过 ,那么 的反函数图象经过点)(f )1,0()4(f(A) (B) (C) (D)1,441,)4,(例 3已知函数 对任意的 满足:)(xfabR、 ()()6,fabf; 。0,6a当 时 (2)1f(1)求: 的值;()f(2)求证: 是 上的减函数;xR(3)若 ,求实数 的取值范围。(2)(3fkfkk例 4已知 Z},{(,)|,,AxynabZ}, ≤ ,问是否存在实数 ,使得(1)2(,)|315Bm2{(,)|Cxy14},ab,(2) 同时成立.(,)ab证明题WORD 格式整理版学习指导参考1.已知二次函数 对于 1、 2 R,且 1< 2时2()fxabcxx,求证:方程 = 有不等实根,且必有一根属于区间( 1, 2).12()fxf()f[()]ff x答案1解:设 f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x1则 或 321)(42bkk2bk∴ 或xf 1)(xf2换元法:已知复合函数 的表达式时,还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一[()]fg ()fx样,要注意所换元的定义域的变化。解法一(换元法):令 t= 则 x=t 1, t≥1 代入原式有121)(2)1(2ttf∴ (x≥1)x解法二(定义法): )(2x∴ ≥1 1)()1(2xf∴ (x≥1)24代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。解:设 为 上任一点,且 为 关于点 的对称点),(yxM)(xg),(yxM),(yx)3,2(则 ,解得: ,32yyx64点 在 上 ),(xM)(xgy2WORD 格式整理版学习指导参考把 代入得:yx64整理得 72)(xxg例 5构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式。∵已知 ①,xf3)1(2将①中 x换成 得 ②,xf3)(2①×2-②得 ∴ .xf6)(12值域求法例 1 解 : 将 函 数 配 方 得 : 4)1(y2∵ ]2,[x 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 : 当x=1时 , 4ymin, 当 1x时 , 8ymax 故 函 数 的 值 域 是 : [4, 8]2. 判 别 式 法 例 2. 解 : 原 函 数 化 为 关 于 x的 一 元 二 次 方 程0x)1y()(( 1) 当 时 , R)(4)(2解 得 :3y( 2) 当 y=1时 , 0x, 而 23,1故 函 数 的 值 域 为 23,1当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。例 3求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为 y≠1 的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R} 。点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。 (答案:函数的值域为{y∣y1}5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 , 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 , 反 客 为 主 来 确 定 函 数 的 值 域 。例 4. 求 函 数 1eyx的 值 域 。 解 : 由 原 函 数 式 可 得 : 1yex∵ 0x∴ yWORD 格式整理版学习指导参考解 得 : 1y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ),(例 1(定义域不同) (定义域不同) (定义域、值域都不同)例 3解: (1) 令 ,得()()6,fabfb0ab()6f令 ,得 2,20(2)证明:设 是 上的任意两个实数,且 ,即 ,1,xR12x10x从而有 , 2()6f则 1211)[()]()xfxfx211)(6()fxffx∴ 即 是 上的减函数 2(0f R(3) 令 ,得 )()6,abfb,ab()3f∵ ∴ ,又 ,((3fkk2)3fkfk1(2)0f即有 2)1(f∴ ((6)(6fkfkf∴ [)][2]又∵ 是 上的减函数 ∴ 即(fxR()1(2)kk3(A)∴实数 的取值范围是k3例 4分析:假设存在 使得(1)成立,得到 与 的关系后与 ≤ 联立,然后讨论联立,abab2xy14的不等式组.解:假设存在实数 ,使得 , 同时成立,则集合,AB(,)CZ}与集合 Z}分别对应集合{(,)|,Axynab2{|,315,xymZ}与 Z}, 与 对应的直线 与抛物线1|x21(,)|315AByaxb至少有一个公共点,所以方程组 有解,即方程 必有解.235yx 2yaxb2315x因此 ≥ ≤ ,①21()ab20a180又∵ ≤ ②4WORD 格式整理版学习指导参考由①②相加, 得≤ ,即 ≤ .∴ .2b1362()b06b将 代入①得 ≥ ,6a08再将 代入②得 ≤ ,因此 ,2 3a将 , 代入方程 得 ,3ab2315xb2690x解得 Z.x所以不存在实数 ,使得(1),(2)同时成立.,a证明题 11解:设 F( )= - , x()f12[()]2fxf则方程 = ①与方程 F( )=0 ② 等价∵F( 1)= - =x1()f12[()]2fxf12[()]fxfF( 2)= - = ∴ F( 1)·F( 2)=- ,又x 21[()]4fxf12()fxf∴F( 1)·F( 2)<0故方程②必有一根在区间( 1, 2)内.由于抛物线 y=F( )在 轴上、下方均有分布,所以此x抛物线与 轴相交于两个不同的交点,即方程②有两个不等的实根,从而方程①有两个不等的实根,且必有一根属于区间( 1, 2).x点评:本题由于方程是 = ,其中因为有 表达式,所以解题中有的学生不理()f12[()]fxf()f解函数图像与方程的根的联系,误认为证明 的图像与 轴相交于两个不同的点,从而证题中着()x眼于证 <0,使本题没法解决. 本题中将问题转化为 F( )= - 的1()fx2 ()fx12[()]2ffx图像与 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
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