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高中数学必修1知识点和题型.doc

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WORD 格式.可编辑 技术资料分享 1.集合知识点一 集合的概念1.集合:一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母 A,B, C,…来表示.2.元素:构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母 a,b ,c,…来表示.3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 .知识点二 集合与元素的关系1.属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a________集合 A,记作 a________A.2.不属于:如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a________集合 A,记作 a________A.知识点三 集合的特性及分类1.集合元素的特性 _______、________、________.2.集合的分类:(1)有限集:含有_______元素的集合;(2)无限集:含有_______元素的集合.3.常用数集及符号表示名称 非负整数集(自然数集) 整数集 实数集符号 N N*或 N+ Z Q R知识点四 集合的表示方法1.列举法:把集合的元素______________,并用花括号 “{}”括起来表示集合的方法2.描述法:用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.知识点五 集合与集合的关系1.子集与真子集定义 符号语言图形语言(Venn 图)子集如果集合 A 中的 ________元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集________(或________)真子集如果集合 A⊆B,但存在元素________,且________,我们称集合 A 是集合 B 的真子集________(或________)WORD 格式.可编辑 技术资料分享 2.子集的性质(1)规定:空集是____________ 的子集,也就是说,对任意集合 A,都有________.(2)任何一个集合 A 都是它本身的子集,即________.(3)如果 A⊆B,B⊆ C,则________.(4) 如果 A B,B C,则________.3.集合相等知识点六 集合的运算1.交集2.并集自然语言 符号语言 图形语言由__________________________________组成的集合,称为 A 与B 的并集A∪B =_______________定义 符号语言图形图言(Venn 图)集合相等如果集合 A 是集合 B 的子集(A ⊆B),且________________,此时,集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A与集合 B 相等A=B自然语言 符号语言 图形语言由________________________________________组成的集合,称为 A 与B 的交集A∩B = _________WORD 格式.可编辑 技术资料分享 3.交集与并集的性质交集的运算性质 并集的运算性质A∩B=________ A∪B=________A∩A=________ A∪A =________A∩∅=________ A∪∅=________A⊆B⇔A∩B=________ A⊆B⇔A∪B =________4.全集在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集,通常记作________.5.补集文字语言对于一个集合 A,由全集 U 中__________的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作________符号语言 ∁UA=________________图形语言典例精讲题型一 * 判断能否构成集合1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程 x2-2 =0 的实数解”中,能够构成集合的是 。 题型二 * 验证元素是否是集合的元素1、已知集合 ,判断 3 是不是集合 A 的元素。ZnmxA,,22、集合 A 是由形如 的数构成的,判断 是不是集合 A 中的元素.,3321题型三 ** 求集合1.方程组Error!的解集是( )A.Error! B.{x,y|x=3 且 y=-7} C.{3,-7} D.{(x,y)|x=3 且 y=-7}2.下列六种表示法:①{x=-1,y=2};②{(x ,y)|x =-1 ,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)} ;⑥{(x,y)|x =-1 或 y=2}.WORD 格式.可编辑 技术资料分享 能表示方程组Error!的解集的是( )A.①②③④⑤⑥ B.②③④⑤ C.②⑤ D.②⑤⑥题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数1.已知集合 S={a,b,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形2.设 a, b∈R,集合{1,a +b,a}= ,则 b- a=________.{0, ba, b}3.已知 P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合 P 中恰有 3 个元素,则实数 k 的取值范围是________.4.已知集合 A 是由 0,m,m 2-3m +2 三个元素组成的集合,且 2∈A,则实数 m 的值为( )A.2 B.3 C.0 或 3 D.0 或 2 或 3题型五 ** 判断集合间的关系1、设 , ,则 M 与 N 的关系正确的是( )ZkxM,412ZkxN,214A. M=N B. C. D.以上都不对2.判断下列集合间的关系:(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0};(2)A={x∈Z|- 1≤x3},则 M∪N=( )A.{x|x -3} B.{x|-30},则 S∩T=( )A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)5.下列关系式中,正确的个数为( )①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N);③(M∪N)⊆N;④若 M⊆N,则 M∩N=M.A.4 B.3 C.2 D.16.(2016·唐山一中月考试题)已知全集 U={x|x≤4} ,集合 A={x|-2a} {x|x≤a} {x|xf(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.2.函数的单调性:若函数 f(x)在区间 D 上是增( 减)函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间.3.单调性的常见结论:若函数 f(x),g(x)均为增(减)函数,则 f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数 f(x)为增(减) 函数,则-f(x) 为减(增) 函数;若函数 f(x)为增(减) 函数,且 f(x)0,则 为减(增) 函数.1f(x)知识点八 函数的最大值、最小值最值类别最大值 最小值设函数 y=f(x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足条件 (1)对于任意的 x∈I,都有__________(2)存在 x0∈I,使得______________(1)对于任意的 x∈I,都有________(2)存在 x0∈I,使得________结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x) 的最小值性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小) 值.知识点九 函数的奇偶性1.函数奇偶性的概念WORD 格式.可编辑 技术资料分享 偶函数 奇函数对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有条件f(-x)=f(x) f(-x) =-f(x)结论 函数 f(x)是偶函数 函数 f(x)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称,奇函数在原点有定义,则 f(x)=0(2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.(3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商( 分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶函数的和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零) 为奇函数.知识点十 函数的周期性若存在非零常数 T,对定义域内任意 x,都有 ,称这样的函数为周期函数,()fTfxT 叫函数的一个周期。如 : 若 , 则fxaf()典例精讲题 型一 *** 函数的定义域1 函数 f(x)=ln(x-3)的定义域为 ( )A.{x|x-3} B.{x|x0} C.{x|x3} D.{x|x≥3}2.函数 f(x)= + 的定义域为( )1- 2x1x+ 3A.(- 3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪( -3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]3.函数24yx的定义域为( )A. [,1] B. [,0) C. (0,1] D. [4,0)(,1]4.已知函数 f(x)= 的定义域是一切实数, 则 m 的取值范围是( )12mA.00, f(x)=x 2+x,求 f(x)解析式3、设 是奇函数, 是偶函数,并且 ,求 。)(xf)(xg xgxf2)()(fWORD 格式.可编辑 技术资料分享 题型六 ** 函数的值域与最值1、函数 , 的值域为 .23yx4,1x2、求函数 的最大值和最小值。5)(xf,3、求函数 的最大值和最小值。324)(1xf 4,2题型七 *** 函数性质的考察1、写出函数 的单调递减区间 )34(log)(21xxf2、设二次函数 f(x)=x2-(2a+1)x+3(1)若函数 f(x)的单调增区间为 ,则实数 a 的值__________;,(2)若函数 f(x)在区间 内是增函数,则实数 a 的范围__________。,3、定义在 上的奇函数 ,则常数 ____, _____)1,(1)(2nxmf n4、已知函数 fx是 (,上的偶函数,若对于 0,都有 (2()fxf) ,且当 [0,2)x时,2()logf),则 08)(9)ff的值为( )A.  B. 1 C. 1 D.5、函数 2lxy的图像 ( )A.关于原点对称 B.关于主线 yx对称 C .关于 y轴对称 D.关于直线 yx对称WORD 格式.可编辑 技术资料分享 6、函数 412xf的图象( )A. 关于原点对称 B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称7、定义在 R 上的奇函数 )(xf,满足 (4)(fxf,且在区间[0,2]上是增函数,则 () A. (25)(180ff B. 801)(25)fC. 25) D. (25ff8、已知偶函数 (fx在区间 ,单调增加,则满足 ()x< (3f的 x 取值范围( )(A) ( 13, ) B.[ 13, ) C.( 12, 3) D.[ 12, )9、定义在 R 上的偶函数 ()fx满足:对任意的 11,[0,)(xx,有 21()0fxf.则 ( )(A) (3)21ff B. ()23ff C. (3) D. 31() 10、已知函数 fx是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x都有(1)()xf,则 5()2f的值是 ( )A.0 B. 1 C.1 D. 52 11、已知定义在 R 上的奇函数 )(xf,满足 (4)(fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m0)在区间 8,上有四个不同的根 123,,则 1234_.x 12、已知函数 f(x)= 的图象经过点(1,3),并且 g(x)=xf(x) 是偶函数.1+ ax2x+ b(1)求函数中 a、b 的值;(2)判断函数 g(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明.基本初等函数、方程的根与函数的零点知识点一 指数函数(1)根式的概念:WORD 格式.可编辑 技术资料分享 (2)如果 ,且 ,那么 叫做 的 次方根.,,1nxaRxnNxan(3)分数指数幂的概念:(4)①正数的正分数指数幂的意义是: 且 .0 的正分数指数幂等于(0,,mnaN1)0.(5)②正数的负分数指数幂的意义是: 且 .0 的负分数指1()(),,mnnan )数幂没有意义.(6)运算性质:① ②(0,)rsrsaR()(0,)rsrasR③ ()rrbabr(7)指数函数函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ,即当 时, .,1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况(0)1()xxa(0)1()xxaWORD 格式.可编辑 技术资料分享 知识点二 对数函数(1)对数的定义:①若 ,则 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中 叫做底数, 叫(0,1)xaNa且 xaNlogaxNN做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化: .log(0,1)xax(2)几个重要的对数恒等式: , , .l10a1logba(3)常用对数与自然对数常用对数: ,即 ;自然对数: ,即 (其中 …) .lgN10lolnNle2.718变化对图象a的影响 在第一象限内, 越大图象越高;在第二象限内, 越大图象越低.aaWORD 格式.可编辑 技术资料分享 (4)对数的运算性质 如果 ,那么0,1,0aMN①加法: ②减法:logllog()aNlogllogaaaMN③数乘: ④nanRlgaN⑤ ⑥换底公式:loglog(0,)baaMbllo(0,1)ba且(5)对数函数函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ,即当 时, .(1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变化对函数图象的a影响在第一象限内, 越大图象越靠低;在第四象限内, 越大图象越靠高.知识点三 幂函数WORD 格式.可编辑 技术资料分享 (1)幂函数的定义一般地,函数 叫做幂函数,其中 为自变量, 是常数.yxx(2)幂函数的图象过定点:所有的幂函数在 都有定义,并且图象都通过点 .(0,)(1,)知识点四 函数与方程1、函数零点的定义(1)对于函数 ,我们把方程 的实数根叫做函数 的零点。)(xfy0)(xf )(xfy(2)方程 有实根 函数 的图像与 x 轴有交点 函数 有零点。因此判断0fy()f一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 是否有实数根,有几个实数根。函数零点)(f的求法:解方程 ,所得实数根就是 的零点)(xf f(3)变号零点与不变号零点①若函数 在零点 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 的变号零点。()f0 ()fx②若函数 在零点 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 的不变号零点。x③若函数 在区间 上的图像是一条连续的曲线,则 是 在区间 内有零点的()f,ab 0)(bfa()fx,ab充分不必要条件。2、函数零点的判定(1)零点存在性定理:如果函数 在区间 上的图象是连续不断的曲线,并且有)(xfy],[b,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也()0faba),(0bax0)(xf0x就是方程 的根。)(xf(2)函数 零点个数(或方程 实数根的个数)确定方法y0)(xf① 代数法:函数 的零点 的根;)(xf②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的)(xfy性质找出零点。(3)零点个数确定有 2 个零点 有两个不等实根; 0)(xfy0)(xf有 1 个零点 有两个相等实根;无零点 无实根;对于二次函数在区间 上的零点个数,要结合图像进ff ,ab行确定.1、 二分法(1)二分法的定义:对于在区间 上连续不断且 的函数 ,通过不断地把函数[,]ab()0fa()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫()yfx做二分法;WORD 格式.可编辑 技术资料分享 (2)用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间 ,验证 ,给定精确度 ;[]ab()0fb②求区间 的中点 ;()c③计算 ;fc(ⅰ)若 ,则 就是函数的零点 ;()0(ⅱ) 若 ,则令 (此时零点 );fabc0(,)xac(ⅲ) 若 ,则令 (此时零点 );()cab④判断是否达到精确度 ,即 ,则得到零点近似值为 (或 );否则重复②至④步.b典例精讲题型一 ** 有关幂函数定义及性质1、函数 是一个反比例函数,则 m= .2(1)myx2、在函数①y=x 3 ②y=x 2 ③y=x -1 ④y= 中,定义域和值域相同的是 .x3、将 21.a,19.0b, 21.c按从小到大进行排列为________题型二 *** 指数函数及其性质1、函数 且 的图像必经过点 .(12ayx)12、 比较下列各组数值的大小:(1) 3.7 1.280; (2) 7.03 8.04;3、函数2xy的递减区间为 ;值域是 4、设 ,求函数 的最大值和最小值。0x12435xxy5、设 都是不等于 的正数, 在同一坐标系中的图像如图所示,dcba, xxxdycbya,,,则 的大小顺序是 ,A B C D .c.bdc.c.bacd题型三 ** 指数函数的运算WORD 格式.可编辑 技术资料分享 1、计算 的结果是()12()A、 B、 C、— D、— 122、44366399a等于()A、 16 B、 8C、 4 D、 2a3、若 ,则 = 。5,bab3题型四 ** 对数运算1、求值 ; 2233(log3l)(log4l2)2、已知 ,那么 用 表示是()a86aA、 B、 C、 D、52(1)a23a3、已知 ,那么 等于()732log[(l)]0x12xA、 B、 C、 D、113题型五 *** 对数函数及其性质1、指数函数 xya 且 的反函数为 ;它的值域是 (0)12、已知 1122loglmn,则 ( ).An .B .C mn .D 1nm3、 , , , 的大小关系是 3).(a3b130.9c3log0.4d4、已知 <0 , ( >0, ≠1 ) ,则 的取值范围是 .21logaa5、函数 ( >0,且 ≠1 )的图像必经过点 ()l(1)fxx6、已知 y=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数,则 a 的取值范围是 ( )A. (0,1) B. (1 ,2) C. (0,2 ) D. ),2[题型六 *** 零点区间的判断1、函数 f(x)=2 x+3 x 的零点所在的一个区间是( ) A、(- 2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)2、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 ( ) WORD 格式.可编辑 技术资料分享 A、 41,8B、 21,4C、 1,2D、(1,2)3、设 ,则在下列区间中,使函数 有零点的区间是( ) 2()3xf)(xfA、[0,1] B、[1,2]4、在下列区间中,函数 的零点所在的区间为 ( ) ()e3xfA、 B、 C、 D、1(,0)10,41(,)4213(,)245、若 是方程 的解,则 属于区间 ( ) xlg2xA、 B、 C、 D、(,)(,.5)(.25,7)(.75,)题型七 *** 零点个数的判断1、方程 的实数解的个数为 .23x2、函数 的零点个数为 .()lnf3、函数 在区间[0,4]上的零点个数为 ( ) 2cosxA、4 B、5 C、6 D、74、函数 在 内 ( )()fx[0,)A、没有零点 B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点5、函数 , 零点个数为 ( )23,()ln0fxxA、3 B、 2 C、1 D、06、若函数 ( 且 )有两个零点,则实数 的取值范围是 .)(fxa1aa7、若函数 3有 3 个不同的零点,则实数 的取值范围是( )A、 2, B、 2 C、 ,1 D、 ,题型八 ** 二分法求函数零点1、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )WORD 格式.可编辑 技术资料分享 2、下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )3、设 83xf,用二分法求方程 2,1083xx在 内近似解的过程中得,025.1.,01f则方程的根落在区( )A、 (25) B、 () C、 (1.5,2) D、不能确定4、用二分法研究函数 3xf的零点时,第一次经计算 0)5.()0ff, ,可得其中一个零点 0x ,第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )A、 (0,0.5) , )25.0(f B、 (0 , 1) , )2.(fC、 (0.5,1 ) , 7 D、 (0 ,0.5 ) , 1505、若函数 32()fxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054那么方程 320x的一个近似根(精确到 0.1)为 ( )A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.501
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