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高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量.pdf

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— 1 — 高中物理竞赛辅导讲义 第6篇 角动量 【知识梳理】 1.力矩 (1)力对轴的力矩 力矩=力×力臂 (2)力对参考点的力矩 M r F   从参考点指向力的作用点的矢量r与作用力F的矢积。 大小 sinM Fr  ;方向 由右手螺旋定则确定。 2.角动量 为了描述质点相对某一参考点的运动,可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。 从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。 L r p   ,大小 sinL pr  ,方向 由右手螺旋定则确定。 动量矩又称角动量。角动量是矢量,方向由右手螺旋定则确定。 3.冲量矩 仿照力对时间的积累效应叫冲量,引入冲量矩的概念。 力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。。 4.质点角动量定理 质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。2 1M t L L    。 质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。LMt。 注意力矩和角动量必须都是对同一个固定点。 比较 动量定理 2 1F t p p    pFtF=0时,Δp=0 角动量定理 2 1M t L L    LMtM=0时,ΔL=0 5.角动量守恒定律 当质点所受外力对固定参考点(简称定点)的力矩为零时,质点对该点的角动量守恒。 6.转动惯量 在经典力学中,转动惯量(又称质量惯性矩,简称惯距)通常以I或J表示,SI单位为kg·m2。对于一个质点,I=mr2,其中m是其质量,r是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量,可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性,用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。 7.描述平动与描述转动的相关物理量对照 — 2 — 平动 转动 质量m 转动惯量I=∑Δmiri2速度v=Δx/Δt 角速度ω=Δθ/Δt = v/r 加速度a=Δv/Δt 角加速度β=Δω/Δt = aτ/r 动量p=mv 角动量(动量矩)L=Iω = Σmiri2力F 力矩M = Frsinθ 牛顿第二定律F=ma 刚体定轴转动定律M=Iβ 冲量 Ft 冲量矩Mt 动量定理Ft=Δp 角动量定理Mt=ΔL 动量守恒条件 F=0 角动量守恒条件M=0 平动动能 mv2/2 转动动能Iω2/2 【例题选讲】 1.如图所示,质量为m的小球自由落下,某时刻具有速度 v,此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点,且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。试求: (1)小球所受重力相对A、B、C三点的力矩M1、M2、M3; (2)小球相对A、B、C三点的角动量L1、L2、L3。 2.在光滑的水平面上,两个质量分别为m1和m2的小球,用长为l的轻线连结,开始时,线正好拉直,m1和m2的速度分别为v1和v2(v1v2),它们的方向相同,且垂直于连线。试求:(1)系统相对质心的角动量大小;(2)线中的张力大小。 — 3 — 3.如图所示,一质量为m的质点,处在光滑的水平面上,用绳连着穿过一光滑小孔悬挂一质量为M的物体。设m一方面绕孔转动,另外它在与孔连线方向作振动,其与孔的距离最大为a,最小为b。试证明,这两极值位置的动能各为2Mgba b和2Mgaa b。 4.小球A自地球的北极点以速度v0在质量为M、半径为R的地球表面水平切向向右飞出,如图所示,地心参考系中,轴OO′与v0平行,小球A的运动轨道与轴OO′相交于距O点为3R的C点,不考虑空气阻力,求小球A在C点的速度v与v0之间的夹角θ。 5.如图所示,CD、EF为长度等于2l的轻质刚性杆,其端点均固连一质量为m的质点。CE、DF为长度等于l的不可伸长的细线。CD杆中点B用一细线悬于天花板A点。突然剪断细线DF,求剪断后瞬时,细线AB中的张力。 — 4 — 6.质量均为m的三个小球置于光滑水平桌面上,并用长均为l的轻质刚性杆AB、BC光滑连接,∠ABC=π−α,(αm2),由静止释放两重物,绳与圆盘间无相对滑动,不计轴的摩擦。试求重物m1下落的加速度a。 — 5 — 9.如图所示,给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度,使之开始运动。一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程:“把参考点设于如图所示的地面上一点 O,此时摩擦力f的力矩为0,从而地面上木块的角动量将守恒,这样木块将不减速而作匀速运动。”请指出上述推理的错误,并给出正确的解释。 10.如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为2l,两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A,以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方间
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