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高中物理竞赛十年预赛真题-热学(纯手打word版含答案).doc

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1十年真题-热学(预赛)1. (34 届预赛 2)系统 1 和系统 2 质量相等,比热容分别为 C1 和 C2,两系统接触后达到够达到共同的温度 T,整个过程中与外界(两系统之外)无热交换.两系统初始温度T1 和 T2 的关系为A.T 1= (T- T2)-T B.T 1= (T-T 2)-TC2C1 C1C2C.T 1= (T-T 2)+T D.T 1= (T-T 2)+TC1C2 C2C12. (31 届预赛 1)一线膨胀系数为 α的正立方体物块,当膨胀量较小时,其体膨胀系数等于A.α B.α 1/3 C.α 3 D.3α3. (29 届预赛 1)下列说法中正确的是A.水在 0℃时密度最大B.一个绝热容器中盛有气体,假设把气体中分子速率很大的如大于 vA 的分子全部取走,则气体的温度会下降,此后气体中不再存在速率大于 vA 的分子C.杜瓦瓶的器壁是由两层玻璃制成的,两层玻璃之间抽成真空,抽成真空的主要作用是既可降低热传导,又可降低热辐射D.图示为一绝热容器,中间有一隔板,隔板左边盛有温度为 T 的理想气体,右边为真空.现抽掉隔板,则气体的最终温度仍为 T4.(28 届预赛 2)下面列出的一些说法中正确的是A.在温度为 20ºC 和压强为 1 个大气压时,一定量的水蒸发为同温度的水蒸气,在此过程中,它所吸收的热量等于其内能的增量.B.有人用水银和酒精制成两种温度计,他都把水的冰点定为 0 度,水的沸点定为 100度,并都把 0 刻度与 100 刻度之间均匀等分成同数量的刻度,若用这两种温度计去测量同一环境的温度(大于 0 度小于 100 度)时,两者测得的温度数值必定相同.C.一定量的理想气体分别经过不同的过程后,压强都减小了,体积都增大了,则从每个过程中气体与外界交换的总热量看,在有的过程中气体可能是吸收了热量,在有的过程中气体可能是放出了热量,在有的过程中气体与外界交换的热量为零.D.地球表面一平方米所受的大气的压力,其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作热运动的空气分子对它碰撞的冲量,加上这一平方米以上的大气的重量.5. (27 届预赛 2)烧杯内盛有 0℃的水,一块 0℃的冰浮在水面上,水面正好在杯口处.最后冰全部融化成 0℃的水.在这过程中A.无水溢出杯口,但最后水面下降了 B.有水溢出杯口,但最后水面仍在杯口处C.无水溢出杯口,水面始终在杯口处 D.有水溢出杯口,但最后水面低于杯口6. (27 届预赛 3)如图所示,a 和 b 是绝热气缸中的两个活塞,它们把气缸分成甲和乙两部分,两部分中都封有等量的理想气体.a 是导热的,其热容量可不计,与气缸壁固连.b 是绝热的,可在气缸内无摩擦滑动,但不漏气,其右方为大气.图中 k 为加热用的电炉丝.开始时,系统处于平衡状态,两部分中气体的温度和压强皆相同.现接通电源,缓慢加热一段时间后停止加热,系统又达到新的平衡,则A.甲、乙中气体的温度有可能不变B.甲、乙中气体的压强都增加了C.甲、乙中气体的内能的增加量相等D.电炉丝放出的总热量等于甲、乙中气体增加内能的总和7. (27 届预赛 4)一杯水放在炉上加热烧开后,水面上方有“白色气” ;夏天一块冰放在桌2面上,冰的上方也有“白色气” .A.前者主要是由杯中水变来的 “水的气态物质”B.前者主要是由杯中水变来的“水的液态物质”C.后者主要是由冰变来的“ 水的气态物质”D.后者主要是由冰变来的“ 水的液态物质”8. (26 届预赛 3)一根内径均匀、两端开中的细长玻璃管,竖直插在水中,管的一部分在水面上.现用手指封住管的上端,把一定量的空气密封在玻璃管中,以 V0 表示其体积;然后把玻璃管沿竖直方向提出水面,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V1;最后把玻璃管在竖直平面内转过 900,让玻璃管处于水平位置,设此时封在玻璃管中的气体体积为 V2.则有A.V 1>V 0≥V2 B.V 1>V 0>V 2 C.V 1=V2>V 0 D.V 1>V 0,V 2>V 09. (25 届预赛 4)如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器的位置是固定的玻璃管 a 和 b,管的上端都是封闭的,下端都是开口的.管内被水各封有一定质量的气体.平衡时,a 管内的水面比管外低,b 管内的水面比管外高.现令升降机从静止开始加速下降,已知在此过程中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在此过程中A.a 中气体内能将增加,b 中气体内能将减少B.a 中气体内能将减少,b 中气体内能将增加C.a、b 中气体内能都将增加D.a、b 中气体内能都将减少10. (25 届预赛 5)图示为由粗细均匀的细玻璃管弯曲成的“双 U 形管”,a、b、c 、d 为其四段竖直的部分,其中 a、d 上端是开口的,处在大气中.管中的水银把一段气体柱密封在 b、c 内,达到平衡时,管内水银面的位置如图所示.现缓慢地降低气柱中气体的温度,若 c 中的水银面上升了一小段高度 Δh,则A.b 中的水银面也上升 ΔhB.b 中的水银面也上升,但上升的高度小于 ΔhC.气柱中气体压强的减少量等于高为 Δh 的水银柱所产生的压强D.气柱中气体压强的减少量等于高为 2Δh 的水银柱所产生的压强11. (31 届预赛 9)图中所示的气缸壁是绝热的.缸内隔板 A 是导热的,它固定在缸壁上.活塞 B 是绝热的,它与缸壁的接触是光滑的,但不漏气.B 的上方为大气.A 与 B 之间以及 A 与缸底之间都盛有 n mol 的同种理想气体.系统在开始时处于平衡状态,现通过电炉丝 E 对气体缓慢加热.在加热过程中,A、B 之间的气体经历_________过程,A 以下气体经历________过程;气体温度每上升 1K,A、B 之间的气体吸收的热量与 A 以下气体净吸收的热量之差等于_____________.已知普适气体常量为 R.答案:等压、等容、nR解析:在加热过程中,AB 之间的气体的压强始终等于大气压强与 B 活塞的重力产生的压强之和,故进行的是等压变化,由于隔板 A 是固定在气缸内的,所以,A 以下的气体进行的是等容变化,当气体温度升高 1K 时,AB 之间的气体吸收的热量为Q1=PΔV +ΔU,A 以下的气体吸收的热量为 Q2=ΔU ,又根据克拉伯龙方程pΔV=nRΔT,所以 Q1-Q 2=pΔV=nR.12. (28 届预赛 6)在大气中,将一容积为 0.50m3 的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直插人水池中,然后放手,平衡时,筒内空气的体积为 0.40m3.设大气的压强与 10.0m 高的水柱产生的压强相同,则筒内外水面的高度差为 .3答案:2.5m13. (34 届预赛 13)横截面积为 S 和 2S 的两圆柱形容器按图示方式连接成一气缸,每隔圆筒中各置有一活塞,两活塞间的距离为 l,用硬杆相连,形成“工”字形活塞,它把整个气缸分隔成三个气室,其中Ⅰ、Ⅲ室密闭摩尔数分别为 ν 和 2ν 的同种理想气体,两个气室内都有电加热器;Ⅱ室的缸壁上开有一个小孔,与大气相通;1mol 该种气体内能为 CT(C 是气体摩尔热容量, T 是气体的绝对温度) .当三个气室中气体的温度均为 T1 时, “工”字形活塞在气缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态,这时Ⅰ室内空气柱长亦为 l,Ⅱ室内空气的摩尔数为 ν.已知大气压不变,气缸壁和活塞都是绝热32的,不计活塞与气缸之间的摩擦.现通过电热器对Ⅰ、Ⅲ两室中的气体缓慢加热,直至Ⅰ室内气体的温度升为其初始状态温度的 2 倍,活塞左移距离 d.已知理想气体常量为 R,求:(1)Ⅲ室内气体初态气柱的长度;(2)Ⅲ室内气体末态的温度;(3)此过程中ⅠⅢ室密闭气体吸收的总热量.解析:(1)设大气压强为 p0.初态:Ⅰ室内气体压强为 p1;Ⅲ室内气体压强为 p1′,气柱的长度为 l′.末态:Ⅰ室内气体压强为 p2;Ⅲ室内气体压强为 p2′.由初态到末态:活塞左移距离为 d.对初态应用气体状态方程,对Ⅰ室气体有:p 1lS=νRT 1 ①对Ⅱ室内气体有:p 0( ×S+ ×2S)= ν0RT1 l2 l2 32②对Ⅲ室内气体有:p 1′l′(2S)=(2 ν)RT1 ③由力学平衡条件有:p 1′(2S)= p1S+p 0(2S-S) ④由题给条件和①②③④式得:l′= l= l ν2ν1+ν0 2νν+ν0⑤(2)对末态应用气体状态方程,对Ⅰ室内气体有:p 2(l- d)S=νRT 2=νR ·2T1 ⑥对Ⅲ室内气体有:p 2′(l′+d)(2S)=(2 ν)RT2′ ⑦由力学平衡条件有:p 2′(2S)=p 2S+p 0(2S-S) ⑧联立②⑤⑥⑦⑧和题给条件得:T 2′= T1 ⑨2νl+(ν+ν0)d(l- d)(ν+ν0)(3)大气对密闭气体系统做的功为 W=p 0(2S-S)(-d)=-p 0Sd=- ν0RT1 dl⑩已利用②式.系统密闭气体内能增加量为:ΔU =νC (T2-T 1)+(2ν)C(T 2′-T 1)=νC(2T 2′-T 1) ⑪由⑨⑩式得:ΔU= CT1-νCT 1 ⑫2νl+(ν+ν0)d(l- d)(ν+ν0)4系统吸收的热量为:Q=ΔU-W= CT1- νCT1+ ν0RT1 ⑬2νl+(ν+ν0)d(l- d)(ν+ν0) dl参考评分:第(1)问 9 分,①②③④式各 2 分,⑤式 1 分.第(2)问 4 分,⑥⑦⑧⑨式各 1 分.第(3)问 7 分,⑩⑪式各 2 分,⑫式 1 分,⑬式 2 分.14. (33 届预赛 16)充有水的连通软管常常用来检验建筑物的水平度.但软管中气泡会使得该软管两边管口水面不在同一水平面上.为了说明这一现象的物理原理,考虑如图所示的连通水管(由三段内径相同的 U 形管密接而成) ,其中封有一段空气(可视为理想气体) ,与空气接触的四段水管均在竖直方向;且两个有水的 U 形管两边水面分别等高.此时被封闭的空气柱的长度为 La.已知大气压强 P0、水的密度 ρ、重力加速度大小为 g,L 0≡P 0/(ρg).现由左管口添加体积为 ΔV=xS 的水,S 为水管的横截面积,在稳定后:(1)求两个有水的 U 形管两边水面的高度的变化和左管添水后封闭的空气柱的长度;(2)当 xL0、LaL 0 时,求两个有水的 U 形管两边水面的高度的变化(用 x 表出)以及空气柱的长度.已知 ≈1+ z,当 z1.1+z12解析:解法(一) (1)设在左管添加水之前左右两个 U 形管两边水面的高度分贝为 h1和 h2,添加水之后左右两个 U 形管两边水面的高度分别为 h1L 和 h1R、h 2L 和 h2R.如图所示,设被封闭的空气的压强为 p,空气柱的长度为 Lb.水在常温常压下可视为不可被压缩的流体,故:2h 1+x=h 1L+h 1R ①2h2=h 2L+h 2R ②由力学平衡条件有:p 0+ρgh 1L=p+ρgh 1R ③p0+ρgh 2R=p+ρgh 2L ④由于连通管中间高度不变,有:h1+h 2+L a=h 1R+h 2L+L b ⑤由玻意耳定律得:p 0La=pL b ⑥联立①②③④⑤⑥式得 p 满足的方程: p2+ p-p 0La=0L0p0 (La- L0- x2)解得:p= ⑦p02L0将⑦式带入⑥式得:L b= ⑧12由①②③④⑦式得:Δh 1L≡h1L-h 1=x-Δh 1R= + [L0-L a+ + ] ⑨x- L02 14 x2= +5x- 2La- 2L08 14Δh1R≡h1R-h 1= -L0+x2 p2ρg= - ⑩L0+x2 145= -3x+2La+2L08 14Δh2L≡h2L-h 2= -L02 p2ρg= - ⑪L02 14= -2La+2L0- x8 14Δh2R≡h2R-h 2=-Δ h2L= + ⑫x- 2La- 2L08 14(2)在 xL0 和 LaL0 的情形下,由 ⑧式得:L b≈La ⑬⑦式成为:p≈p 0(1+ ) ⑭x2L0由⑨⑩⑪⑫⑬⑭式得:Δh 1L≈ x ⑮34Δh1R≈- Δh2L=Δh 2R≈ x ⑯14参考评分:第(1)问 14 分,①②③④⑤⑥⑦⑧式各 1 分,⑨⑩ 式各 2 分,⑪⑫式各 1 分;第(2)问 6 分,⑬⑭式各 1 分,⑮⑯式各 2 分.解法(二) (1)设 U 形管 1 左侧末态水面比初态上升 +y,右侧末态水面比初态上升x2-y,U 形管 2 左侧末态水面比初态下降 y,右侧末态水面比初态上升 y.由玻意耳定x2律得: LaL0=L b(L0+2y) ①由几何关系有: La- +2y=L b x2②将②式带入①式得: LaL0=(L a- +2y) (L0+2y) x2③解得: y= - - + ④x8 L04 La4 14(L0+ La- x2)2 + 2xL0此即 U 形管 2 左侧末态比初态水面下降值,也是右侧末态比初态水面上升值(负根y= - - - 不符合题意,已舍去) .x8 L04 La4 14(L0+ La- x2)2 + 2xL0U 形管 1 左侧末态比初态水面上升:+y= + ⑤x2 5x- 2La- 2L08 14右侧末态比初态水面上升:6-y= - ⑥x2 3x+ 2La+ 2L08 14将④式带入②式得:Lb=L a- +2y= + ⑦x2 2La- 2L0- x4 12(2)在 xL0 和 LaL0 的情形下,④⑤⑥⑦式中的根号部分==L 0≈L0=L 0+ ⑧12≈L0+ (2La+x)12=L a+L 0+x2⑧式在推导过程中用到了 ≈1+ z,当 z1.1+z12将⑧式带入④⑤⑥⑦式中分别得到:y≈ - - + = ⑨x8 L04 La4 14(L0+ La+ x2) x4+y≈ + = ⑩x2 x2 x4 3x4-y≈ - = ⑪x2 x2 x4 x4Lb≈ - - + =L a ⑫La2 L02 x4 12(L0+ La+ x2)参考评分:第(1)问 14 分,①式 4 分,②③式各 1 分,④式 3 分,⑤式 2 分,⑥式 1 分.第(2)问 6 分,⑨⑩式各 2 分,⑪⑫ 式各 1 分.15.(32 届预赛 15)如图,导热性能良好的气缸 A 和 B 高度均为h(已除开活塞的厚度) ,横截面积不同,竖直浸没在温度为T0 的恒温槽内,它们的底部由一细管连通(细管容积可忽略).两气缸内各有一个活塞,质量分别为 mA=2m 和 mB=m ,活塞与气缸之间无摩擦,两活塞的下方为理想气体,上方为真空.当两活塞下方气体处于平衡状态时,两活塞底面相对于气缸底的高度均为 h/2.现保持恒温槽温度不变,在两活塞上面同时各缓慢加上同样大小的压力,让压力 从零缓慢增加,直至其大小等于 2mg(g 为重力加速度)为止,并一直保持两活塞上的压力不变;系统再次达到平衡后,缓慢升高恒温槽的温度,对气体加热,直至气缸 B 中活塞底面恰好回到高度为 h/2 处.求:(1)两个活塞的横截面积之比 SA∶S B.(2)气缸内气体的最后的温度.(3)在加热气体的过程中,气体对活塞所做的总功.7解析:(1)平衡时气缸 A、B 内气体的压强相等,故: = ①mAgSA mBgSB由①式和题给条件得: S A∶S B=2∶1 ②(2)两活塞上各放一质量为 2m 的质点前,气体的压强 p1 和体积 V1 分别为:p1= = ③2mgSA mgSBV1= SBh ④32两活塞上各放一质量为 2m 的质点后, B 中活塞所受到的气体压力小于它和质点所受重力之和,B 中活塞将一直下降至气缸底部为之,B 中气体全部进入气缸 A.假设此时气缸 A 中活塞并未上升到气缸顶部,气体的压强 p2= = ⑤4mgSA 2mgSB设平衡时气体体积为 V2,由于初态末态都是平衡态,由理想气体状态方程有:= ⑥p1V1T0 p2V2T0由③④⑤⑥式得: V2= S0h= SAh ⑦34 38这时气体的体积小于气缸 A 的体积,与活塞未上升到气缸顶部的假设一致.缓慢加热时,气体先等压膨胀,B 中活塞不动,A 中活塞上升;A 中活塞上升至顶部后,气体等容升压;压强升至 时,B 中活塞开始上升,气体等压膨胀.3mgSB设当温度升至 T 时,该活塞恰好位于 处.此时气体的体积变为 V3= SBh ⑧h2 52气体压强 p3= ⑨3mgSB设此时气缸内气体的温度为 T,由状态方程有: = ⑩p2V2T0 p3V3T由⑤⑦⑧⑨⑩式得: T=5T 0 ⑪(3)升高恒温槽的温度后,加热过程中,A 活塞上升量为 h- h= h ⑫38 58气体对活塞所做的总功为 W= 4mg· h+3mg· =4mgh ⑬58 h2参考评分:第(1)问 3 分,①式 2 分,②式 1 分;第(2)问 13 分,③④⑤⑥式各 2分,⑦⑧⑨⑩⑪式各 1 分;第(3)问 4 分,⑫⑬式各 2 分.16. (31 届预赛 14)1mol 的理想气体经历一循环过程 1-2-3-1,如 p-T 图示所示,过程 1-2是等压过程,过程 3-1 是通过 p-T 图原点的直线上的一段,描述过程 2-3 的方程为c1p2+c2p=T,式中 c1 和 c2 都是待定的常量,p 和 T 分别是气体的压强和绝对温度.已知,气体在状态 1 的压强、绝对温度分别为 P1 和 T1,气体在状态 2 的绝对温度以及在状态 3 的压强和绝对温度分别为 T2 以及 p3 和 T3.气体常量 R 也是已知的.(1)求常量 c1 和 c2 的值;(2)将过程 1-2 -3 -1 在 p-v 图示上表示出来;(3)求该气体在一次循环过程中对外做的总功.解析:(1)设气体在状态 i( i=1、2、3)下的压强、体积和温度分别为 pi、V i 和8Ti,由题设条件有:c 1p22+c 2p2=T 2 ①c1p32+c 2p3=T 3 ②由此解得:c 1= = T2p3- T3p2p22p3- p32p2 T2p3- T3p1p12p3- p32p1③c2= = T2p32- T3p22p2p32- p22p3 T2p32- T3p12p1p32- p12p3④(2)利用气体状态方程 pV=RT 以及 V1=R 、V 2=R 、V 3=R ⑤T1p1 T2p2 T3p3可将过程 2—3 的方程写为 p =V+ ⑥V2- V3p2- p3 V2p3- V3p2p2- p3可见,在 p-V 图上过程 2-3 是以(p 2,V 2)和(p 3,V 3)为状态端点的直线,过程3-1 是通过原点直线上的一段,因而描述其过程的方程为: =c 3 ⑦pT式中 c3 是一常量,利用气体状态方程 pV=RT,可将过程 3-1 的方程改写为:V= =V 3=V 1 ⑧Rc3这是以(p 3,V 1)和(p 1,V 1)为状态端点的等容降压过程.综上所述,过程 1-2-3-1 在 p-V 图上是一直角三角形,如图所示.(3)气体在一次循环过程中对外做的总功为:W=- (p3-p 1)(V2-V 1) ⑨12利用气体状态方程 pV=RT 和 ⑤式,上式即:W=- R(T2-T 1) ⑩12 (p3p1- 1)参考评分:第(1)问 8 分,①②③④式各 2 分;第(2 )问 10 分,⑤⑥ 式各 2 分,过程 1-2-3-1 在 p-V 上的图示正确得 6 分;第(3)问 2 分,⑩式 2 分.17.(30 届预赛 14)如图所示,1 摩尔理想气体,由压强与体积关系的 p-V 图中的状态 A 出发,经过一缓慢的直线过程到达状态 B,已知状态 B 的压强与状态 A 的压强之比为 ,若要使整个过程的最终结果是气12体从外界吸收了热量,则状态 B 与状态 A 的体积之比应满足什么条件?已知此理想气体每摩尔的内能为 ,R 为普适32RT气体常量,T 为热力学温度.解析:令 ΔU 表示系统内能的增量, Q 和 W 分别表示系统吸收的热量和外界对系统所做的功,由热力学第一定律有:ΔU =Q+W ①令 T1 和 T2 分别表示状态 A 和状态 B 的温度,有:ΔU = R(T2-T 1) ②32令 p1、p 2 和 V1、V 2 分别表示状态 A、B 的压强和体积,由②式和状态方程可得:ΔU= (p2V2-p 1V1) ③329由状态图可知,做功等于图线下所围面积,即:W=- (p1+p 2)(V2-V 1) 12④要系统吸热,即 Q>0,由以上格式可得: (p2V2-p 1V1)+ (p1+p 2)(V2-V 1)>0 32 12⑤按题意, = ,带入上式,可得: > p2p1 12 V2V1 32⑥参考评分:①②③式各 3 分,④式 4 分,⑤式 3 分,⑥式 2 分.18.(29 届预赛 14)由双原子分子构成的气体,当温度升高时,一部分双原子分子会分解成两个单原子分子,温度越高,被分解的双原子分子的比例越大,于是整个气体可视为由单原子分子构成的气体与由双原子分子构成的气体的混合气体.这种混合气体的每一种成分气体都可视作理想气体.在体积 V=0.045m 3 的坚固的容器中,盛有一定质量的碘蒸气,现于不同温度下测得容器中蒸气的压强如下:试求温度分别为 1073K 和 1473K 时该碘蒸气中单原子分子碘蒸气的质量与碘的总质量之比值.已知碘蒸气的总质量与一个摩尔的双原子碘分子的质量相同,普适气体常量 R=8.31J·mol -1 ·K-1解析:以 m 表示碘蒸气的总之, m1 表示蒸气的温度为 T 时单原子分子的碘蒸气的质量,μ1、μ 2 分别表示单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的摩尔质量,p 1、p 2 分别表示容器中单原子分子碘蒸气和双原子分子碘蒸气的分压强,则由理想气体的状态方程有:p1V= RT ①m1μ1p2V= RT ②m- m1μ2其中,R 为理想气体常量.根据道尔顿分压定律,容器中碘蒸气的总压强 p 满足:p=p 1+p 2 ③设 α= 为单原子分子碘蒸气的质量与碘蒸气的总质量的比值,注意到 μ1= μ2 ④m1m 12由以上各式解得:α= · -1 ⑤μ2VmRpT带入有关数据可得,当温度为 1073K 时,α=0.06 ⑥当温度为 1473K 时,α=0051 ⑦参考评分:①②③⑤式各 4 分,⑥⑦式各 2 分.19. (26 届预赛 15)图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁的接触是光滑的、不漏气的,M 1 是导热的,M 2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M 1 把一定质量的气体封闭在气缸为 L1 部分, M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M 2 的右侧为大气,大气的压强 p0 是恒定的.K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现通过K 对气体缓慢加热一段时间后停止加热,让气体重10新达到平衡太,这时,活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比,L 1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小还是未变?要求进行定量论证.解析:解法(一)用 n1 和 n2 分别表示 L1 和 L2 中气体的摩尔数,p 1、p 2 和 V1、V 2 分别表示 L1 和 L2 中气体处在平衡状态时的压强和体积,T 表示气体的温度(因为 M1 是导热的,两部分气体的温度相等) ,由理想气体状态方程有:p 1V1=n 1RT ①p2V2=n 2RT ②式中 R 为普适气体常量.若以两个活塞和轻杆构成的系统为研究对象,处在平衡状态时有:p 1S1-p 2S1+p 2S2-p 0S2=0 ③已知 S2=2S 1 ④有③④式得: p1+p 2=2 p0 ⑤由①②⑤三式得:p 1= 2n1n2p0V2V1+ n1n2V2⑥若⑥式中的 V1、V 2 是加热后 L1 和 L2 中气体的体积,则 p1 就是加热后 L1 中气体的压强.加热前 L1 中气体的压强则为 p10= 2n1n2p0V20V10+ n1n2V2⑦设加热后 L1 中气体体积的增加量为 ΔV1,L 2 中气体体积的增加量为 ΔV2,因连接两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有: ΔV1=Δ V2=ΔV ⑧加热后 L1 和 L2 中气体的体积都是增大的,即 ΔV>0. (若 ΔV<0,即加热后活塞是向左移动的,则大气将对封闭在气缸中的气体做功,电热丝又对气体加热,根据热力学第一定律,气体的内能增加,温度将上升,而体积是减小的,故 L1 和 L2 中气体的压强 p1 和 p2 都将增大,这违反力学平衡条件⑤式)于是有 V1=V 10+ΔV ⑨V2=V 20+Δ V ⑩由⑥⑦⑨⑩四式得:p 1-p 10= 2n1n2p0(V10- V20)ΔV[V10+ ΔV+ n1n2(V20+ ΔV)](V10+ n1n2V20)⑪由⑪式可知:若加热前 V10=V 20,则 p1=p 10,即加热后 p1 不变,由⑤式知 p2 亦不变;若加热前 V10<V 20,则 p1<p 10,即加热后 p1 必减小,由⑤式知 p2 必增大;11若加热前 V10>V 20,则 p1>p 10,即加热后 p1 必增大,由⑤式知 p2 必减小.参考评分:得到⑤式 3 分,得到⑧ 式 3 分,得到⑪式 8 分,最后结论 6 分.解法(二)设加热前 L1 和 L2 中气体的压强和体积分别为 p10、p 20 和 V10、V 20,以p1、p 2 和 V1、V 2 分别表示加热后 L1 和 L2 中气体的压强和体积,由于 M1 是导热的,加热前 L1 和 L2 中气体的温度是相等的,设为 T0,加热后 L1 和 L2 中气体的温度也相等,设为 T.因为加热前、后两个活塞和轻杆构成的系统都处在力学平衡状态,注意到S2=2S 1,力学平衡条件分别为:p 10+p 20=2p 0 ①p1+p 2=2p 0 ②由①②两式得: p1-p 10=- (p2-p 20) ③根据理想气体状态方程,对 L1 中的气体有: = p1V1p10V10 TT0④对 L2 中气体有: = p2V2p20V20 TT0⑤由④⑤两式得: = p1V1p10V10 p2V2p20V20⑥⑥式可改写成: = (1+ p1- p10p10 )(1+ V1- V10V10 ) (1+ p2- p20p20 )(1+ V2- V20V20 )⑦因连接两活塞的杆是刚性的,活塞 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍,故有:V1-V 10=V 2- V20 ⑧把③⑧式带入 ⑦式得: = (1+ p1- p10p10 )(1+ V1- V10V10 ) (1- p1- p10p20 )(1+ V1- V10V20 )⑨若 V10=V 20,则由⑨ 式得 p1=p 10,若加热前 L1 中气体的体积等于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体的压强不变,由② 式可知加热后 L2 中气体的压强亦不变;若 V10<V 20,则由⑨ 式得 p1<p 10,若加热前 L1 中气体的体积小于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体的压强必减小,由② 式可知加热后 L2 中气体的压强必增大;若 V10>V 20,则由⑨ 式得 p1>p 10,若加热前 L1 中气体的体积大于 L2 中气体的体积,则加热后 L1 中气体的压强必增大,由② 式可知加热后 L2 中气体的压强必减小;参考评分:得到①式和② 式或得到 ③式得 3 分,得到⑧式得 3 分,得到⑨式得 8 分,最后结论得 6 分.
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