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有限单元法基础-第1章.ppt

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结构数值分析——有限单元法基础,第一章 有限单元法的总体思路、方法概说,1.1 引言,0、为什么要学有限单元法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1m,2m,P/2,P/2,t,,A,求点A的位移?,结构力学方法:,,,,P,弹性力学方法:,当弹性板计算,结构不能简化,(1) 是一种以电子计算机为计算工具的结构分析数值方法。 (2) 是以剖分插值和能量原理为基础的一种结构计算方法。,1、什么是有限单元法,① 剖分插值——把结构剖分(离散)为有限个单元(小局部),利用“插值函数”研究单元的平衡和协调;再把这有限个离散单元集合(还原)成结构,保证被还原的结构满足平衡和变形协调条件。,图1-1 弹性悬臂板剖分与集合,单元、节点需编号,② 能量原理——研究单元平衡和结构整体平衡时,都用能量原理描述。,③ 广泛使用 “矩阵”这一数学工具。,可以说有限元法的基本思路是:结构剖分和单元集合。有关平衡的表述采用:能量原理。主要优点:计算规格化、数值化、适合计算机编程。,有限元法避免了经典弹性力学连续解的困难,使大型、复杂结构的计算容易地在计算机上完成。,2、 有限元法的分析思路(1)用点、线或面把结构剖分为一系列离散单元。进行单元分析,使每个单元都满足平衡条件和变形连续条件:,1、F1,2、F2,3、F3,4、F4,1、F1,2、F2,3、F3,4、F4,,图1-2 两端固定梁剖分,,,单元的节点上有位移和力F,(2)再把所有被离散的单元集合起来。进行系统(结构整体)分析,保证系统在单元与单元间连接点处的平衡条件及变形协调条件得到满足。,最终实现对结构的完整分析计算。,,,,图1-3,3、节点和节点自由度数概念 单元与单元间、单元和支座间的连接点称节点。 节点自由度数指:计算时对一个节点应考虑的独立位移数。,,节点位移 节点力F,图1-4 平面应力板,,,一个单元的每个节点上都有用来描述其变形的广义位移和相应的广义力。广义一语意味着所论位移既可以是线位移,也可以是角位移。力除了代表力以外,还可以代表力矩。,4、单元节点位移和单元节点力,,上述单元的节点位移和节点力是对给定的坐标系来说的,这里,暂假定各单元具有统一的坐标系XY。,图1-5,把单元上所有节点的位移(或力)依次集合起来排列成一个列向量{}(或{F} ),称{}(或{F} )为单元节点位移(或单元节点力),可简称为单元位移(或单元力)。,单元上节点位移总数称单元的自由度数,等于单元节点数乘节点自由度数。研究单元时{F}是外力,但就整个结构而论,它是内力。,研究单元时{F}是外力, 就整个结构而论它是内力。,,5、简要归纳,(1)剖分结构时应对单元、节点分别用连续正整数编号。,(2)节点独立位移数是节点自由度数。,平面桁架节点:2(ux、uy),,空间桁架节点:3 (ux、uy 、uz),平面梁节点:2( uy 、z ),空间梁节点:6( ux、uy 、uz 、 x、 y、z),平面应力板节点:2( ux 、 uy ),节点的独立位移数与结构的变形性质有关。,(3)从结构中取出的任何单元,应有单元号,单元上的节点应有节点号。这些编号应和结构剖分时的编号对应。(十分重要,定义有关数据地址),杆件单元,板单元,图1-7,,,(4)每个单元都有单元位移{} 、单元力{F} 。它们是把单元上所有节点的位移(或力)依次集合起来排成的一个列向量{} (或{F} )。,图1-9 平面应变板单元,(5)确定单元位移、单元力应有坐标概念。如果是在特定的单元坐标系中得出的单元位移、单元力 称单元坐标单元位移、单元坐标单元力。(6)对单元:{F是外力;对结构:{F}是内力。,1.2 单元分析——单元刚度矩阵概念,单元分析的主要工作是:通过研究单元力和单元位移之间关系,建立单元刚度矩阵。对任意单元而言,描述单元力和单元位移之间关系的一个方阵,称单元刚度矩阵。以图1-10示出的平面梁单元为例。坐标系XY如图所示。,,图1-10,(1-1),描述单元力和单元位移之间关系的矩阵式一般可写为:,其中,kij(i=1、…4,j =1、…、4)称刚度系数,矩阵:,,,称为第(e)号单元的单元坐标单元刚度矩阵,可简称为单元刚度矩阵,简写为[k]。即,(1-2),引入单元位移、单元力符号: 、,,公式(1-1)被缩写为:,,(1-3),从式(1-3)和(1-1)看出:,(1)单元刚度矩阵表明了单元力和单元位移之间关系。由于后面推演这套关系中的刚度系数kij时,保证了单元内部的平衡和协调。所以,引用单元刚度矩阵就意味着单元的平衡和协调条件已经得到满足。,(2)单元刚度矩阵中的任意元素kij是单位位移j=1、其它位移为零时的Fi。,单元分析的主要任务就是确定单元刚度矩阵
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