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极点、极线,配极原则.ppt

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极点、极线 配极原则.ppt
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时间:10月12日 授课老师:刘小辉 Tel:6188199 E-mail:xhliu92@jmu.edu.cn,5.3极点、极线,配极原则,教案再现:liuxh92@126.com,数学科学对于经济竞争是必不可少的,数学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。——引自:数学科学.技术与经济竞争力,,,§ 5.3 极点、极线,配极原则,一、引入,在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定:非退化.,设,定义1 两点P, Q关于Γ共轭. (如图),定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.,证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与Γ: S=0的交点M(pi+λqi)满足,设其两根为λ1, λ2. 则交点为Mj( pi+λjqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=–1  λ1/λ2=–1 λ1+λ2=0,将qi改为流动坐标xi, 得P关于Γ的共轭点的轨迹为直线Sp=0.,,,§ 5.3 极点、极线,配极原则,二、极点与极线,定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.,推论1 两点P, Q关于Γ共轭Spq=0. 即,注2. P在Γ上, 则Spp=0, 由推论1, Γ上的点关于Γ自共轭.,注1. 验证两点P, Q关于Γ共轭, 只要验证上式.,2. 极点与极线,定义2 对于点P, 若,则称P关于Γ的,共轭点轨迹p,切线p,为P关于Γ的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于Γ的极点.,注. 由定义2及推论1, 有定义2': 相互在对方极线上的两点称为关于Γ的共轭点.,1. 问题提出,,,§ 5.3 极点、极线,配极原则,一、极点与极线,推论2 平面上任一点P关于Γ的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于Γ的极点存在唯一.,证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于Γ的极点.设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同一直线, 由此可以推知,因为|aij|≠0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在.,(*)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组.,3. 主要结论,,,,§ 5.3 极点、极线,配极原则,二、极点与极线,4. 极点与极线的计算,(1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0.,(2). 已知u[ui], 求极点, 将[ui]代入(*), 解出(pi). (注:在实际计算时, 可取ρ=1, 见教材),注:(*)是一个非奇异线性变换, 是由Γ: S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射.,定义3 相互通过对方极点的直线称为关于Γ的共轭直线.,注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi], q[qi]关于Γ: S=0共轭Tpq=0,根据推论2, 可以对偶地给出下列定义,,,,§ 5.3 极点、极线,配极原则,二、极点与极线,对于,点P(pi)关于Γ的极线(P关于Γ的共轭点的轨迹)方程:Sp=0.,点P(pi), Q(qi)关于Γ共轭,直线u[ui]关于Γ的极点:下列极点方程组的解,例1,求点(1,-1,0)关于二阶曲线的极线?,,例2,求直线 关于的极点.,,,(3,-1,-1),,,§ 5.3 极点、极线,配极原则,三、配极变换,1. 配极变换,定义4 称由,决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线Γ: S=0的配极变换.,注1. 任一非退化二阶曲线Γ都决定了平面上的一个配极变换.,注2. 配极变换是异素变换, 是一个双射.,注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质.,,定理2 (配极原则)点P关于Γ的极线p通过点Q点Q关于Γ的极线q通过点P.,定理2'(配极原则) 直线p关于Γ的极点P在直线q上直线q关于Γ的极点Q在直线p上.,,,§ 4.3 配极变换,二、配极变换,1. 配极变换,推论1 两点连线的极点为此二点极线的交点;两直线交点的极线为此二直线极点的连线.,推论2 共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.,推论3 关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得点列对应于线束, 线束对应于点列;图形对应于其对偶图形.,推论4 关于非退化二阶曲线Γ的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比. 因此, 配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应.,综上:,非退化二阶曲线Γ,,配极变换,,二维异素射影变换,二维异素射影变换,对偶变换,从而,配极原则,特殊的对偶原则,探索3一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上,则这个完全四点形的对边三点形的顶点与
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