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排列组合1.ppt

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排列 组合(一) —— 两个计数原理 问题一: • ( 1- 1)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中火车有 3班,汽车有 2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法? 分析:因为一天中乘火车有 3种走法,乘汽车有 2种走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以,共有 3+2=5种不同的走法,如图所示 • (1- 2) 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船一天中,火车有 4 班 , 汽车有 2班,轮船有 3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 ? 分析:从甲地到乙地有 3类方法:第一类方法,乘火车,有 4种方法;第二类方法,乘汽车,有 2种方法;第三类方法,乘轮船,有 3种方法;所以,从甲地到乙地共有 4+2+3=9种方法 问题一: 分类计数原理 (加法原理 ): 做一件事情,完成它可以有 n类办法,在第一类办法中有 种不同的方法,在第二类办法中有 种不同的方法, …… ,在第 n类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 12 nN m m m   1m2mnm问题二: ( 2- 1)从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中,火车有 3班,汽车有 2班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析 :因为乘火车有 3种走法,乘汽车有 2种走法,所以,乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地,共有 2*3=6种不同走法,如图所示, 所有走法:火车 1──汽车 1;火车 1──汽车 2;火车 2──汽车 1; 火车 2──汽车 2;火车 3──汽车 1;火车 3──汽车 2 分步计数原理 (乘法原理 ): 做一件事情,完成它需要分成 n个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法, …… ,做第 n步有 种不同的方法,那么完成这件事有 种不同的方法 1m 2mnm12 nN m m m   原理说明: 分类计数原理 (加法原理 )中, “ 完成一件事,有 n类办法 ” ,是说每种办法 “ 互斥 ” ,即每种方法都可以独立地完成这件事,同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论那一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事 .只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以 . 分步计数原理 (乘法原理 )中, “ 完成一件事,需要分成n个步骤 ” ,是说每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤,彼此间也不能有重复和遗漏. 如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有 m种不同的方法,那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理 . • 可以看出 “ 分 ” 是它们共同的特征,但是,分法却大不相同. 例题: 1、书架的第 1层放有 4本不同的计算机书,第 2层放有 3本不同的文艺书,第 3层放有 2本不同的体育书, ( 1)从书架上任取 1本书,有多少种不同的取法? ( 2)从书架的第 1、 2、 3层各取 1本书,有多少种不同的取法? 例题: 2.一种号码拨号锁有 4个拨号盘,每个拨号盘上有从 0到 9共 10个数字,这 4个拨号盘可以组成多少个四位数号码? 3. 540的不同正约数共有多少个? 4.甲厂生产的收音机外壳形状有 3种,颜色有 4种,乙厂生产的收音机外壳形状有 4种,颜色有 5种,这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看,共有所少种不同的品种? 5. 乘积( a1+a2+a3)( b1+b2+b3+b4)( c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项? 例题: 6. (1)由数字 l, 2, 3, 4, 5可以组成多少个数字允许重复三位数? (2)由数字 l, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的三位数? (3)由数字 0, l, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的三位数? (4)由数字 0, l, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字且可以被 5整除的三位数? 7.三边均为整数且最大边为 10的三角形有多少个?
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