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排列组合2.ppt

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排列组合、二项式定理 复习纲要,一、概念 1、排列与组合的区别将一个事件内的元素的顺序调换,如果这个事件不变,那么是组合问题,如果这个事件改变,那么是排列问题。排列问题要考虑位置关系;组合问题不需要考虑位置关系。,2、乘法原理与加法原理,从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合数为,二、基本公式 从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列数为,三、七类典型的排列组合问题 1、有特殊元素或特殊位置的排列问题:一般地,分步处理,优先(第一步)处理特殊元素或特殊位置。,2、相邻的排列问题:一般地,(分两步)先将相邻的元素合并(看成一个元素)与其它元素一起排列好,再处理好合并的元素间的位置关系。,3、不相邻的排列问题一般地,(分两步)先将普通元素排列好,再将不相邻的元素插入普通元素间的空隙。,4、两类不同的元素的混合排列问题一般地,先取后排(分步处理),先分别从两类元素中取出需用元素的 组合,再混合在一起进行排列。,5、可重复的排列一般地,应该从位置方面进行考虑。(当对元素和位置分辨不清时,可从两方面分别进行考虑通顺者为正确),6、分配问题一般原则是分步地“取”,(含排列的意味)最好是先分堆(遇到平均分堆就除以堆数的排列数),再分配(排列),(1)注意分“堆”与分给“人”的区别; (2)注意均匀分配与不均匀分配的区别; (3)注意分给“人”的不均匀分配时有对某些人指定量与不指定量的区别。,练习: 1、6本不同的书均分成3堆,有多少种不同的分法?,2、6本不同的书,均分给3个人,有多少种分法?,3、6本不同的书,分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分法?,4、6本不同的书,分给3个人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种分法?,5、6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,甲 1本,乙2本,丙3本,有多少种分法?,6、7本不同的书,分成3堆,一堆3本,另二堆各2本,有多少种不同的分法?,7、7本不同的书,分给3人,一人3本,另二人各2本,有多少种不同的分法?,8、7本不同的书,分给甲、乙、丙三人甲3本,乙、丙各2本,有多少种分法?,四、二项式定理,1、二项式定理的公式:,2、二项式展开式的通项:,3、二项式系数的性质: (1)在展开式中,与两端距离相等的二项式系数相等; (2)当n为奇数的时候,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数的时候,中间项的二项式系数最大。,4、二项式定理的应用: (1)整除性的证明、求余数; (2)近似计算|x|1时,要注意误差绝对值应小于精确度的一半,否则应该加项。,五、一系列组合数的等式的证明和求值,1、组合数的下标不变,有成等比数列的系数,用二项式定理、赋值法;,答案:63,2、组合数的下标不变,有成等差数列的系数,用倒加法,或借助于公式:,3、组合数的下标不变,有成调和数列的系数,用公式:,4、组合数的下标递变,上标不变(各项系数为1) 用裂项相消求和:,例:求值 C31+C42+C53+C64+‥‥‥+C4139,答案:C423=11479,5、一系列组合数的2次积(幂)的和:构造恒等式或构造一个组合事件,用组合意义证明或求解,六、二项展开式的系数问题,1、要注意系数和二项式系数的区别;,3、最大系数问题可解不等式组:,2、要注意合并同类项后的系数与未曾合并 同类项的系数的区别;,
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