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数学家的生日蛋糕.ppt

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实验四,数学家的生日蛋糕,—— 积分,一、引例:数学家的生日蛋糕,某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的口腔医学的悬链线模型,学生们要求蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列悬链线函数r = 2-(exp(2h)+exp(-2h))/5, 0h1 (单位:米) 。蛋糕的成本取决于蛋糕的重量和表面积(底面除外),问如何计算重量和表面积?,解 设高为H,半径 r, 比重为k 若蛋糕是单层圆盘的,则蛋糕的重量和表面积分别为:W=kHr2 S = 2Hr+r2 若蛋糕是双层的,每层高H/2 ,下层半径r1, 上层半径r2,则 W=kH(r12+ r22)/2S = H(r1+r2)+r22 如果蛋糕是n层的,每层高H/n,半径分别r1, …, rn, 则,,,,,,,,,,,,,r,H,r1,r2,若蛋糕边缘是曲线r = r(h), 0hH,各层半径近似为ri = r((i-1/2)H/n), i=1, …, n, 那么 当n,,二、数学理论复习:积分 函数f(x)在区间[a,b]上的积分定义为,其中 a=x0x1…xn=b, xi=xi-xi-1, i(xi-1,xi), i=1,2,…,n,若在[a,b]上, F’(x)=f(x), 则,二重积分定义为,三、数值积分:梯形法和重积分1、梯形法,在[xi-1,xi]上f(x)近似为一直线,用弦线代替,则,设f(x)在[a,b]上大于0, a=x0x1……xn=b, 则,,,,,,,,a,xi-1,b,xi,通常将[a,b]区间n等分,h=(b-a)/n, xi=a+ih,,称为梯形公式,2、重积分 重积分的数值计算可通过单积分组合计算,我们利用梯形法,先将[a,b]区间m等分,hx=(b-a)/m, xi=a+ihx, i=0,1,…,m,再将[c(xi),d(xi)]区间n等分, hy(i)=(d(xi)-c(xi))/n,yij=c(xi)+jhy(i), 则,,,,,,,G(xi),A,a,b,d(x),c(x),其中,M文件dblquad2.m给出二重积分数值计算法。 I=dblquad2(‘f_name’,a,b,‘c_lo’, ‘d_hi’, m,n) 其中‘f_name’为被积函数f(x,y)字符串,其中x为标量, y为向量 ,‘c_lo’和‘d_hi’是y的下上限 ; a , b为x的下上限;m, n 为x和y方向的等分数(缺省值100)。,四、使用MATLAB,解 将被积函数及y的上下限函数写为M函数文件,再调用dblquad2即可求解。,例1,trapz 梯形法积分 quad 变步长数值积分 int 符号积分 quad8 高精度数值积分 dblquad 矩形区域的二重积分,1、梯形积分法 trapz 是最基本的数值积分方法, 精度低。 z=trapz(x,y), 返回积分的近似值,其中x 表示积分区间的离散化向量; y是与x同维数的向量,表示被积函数 。,例2,解 » clear; x=-1:0.1:1; y=exp(-x.^2); » trapz(x,y),2、变步长数值积分 z=quad8(‘fun’,a,b,tol) 返回积分的近似值, 其中 fun表示被积函数的M函数名, a、b 表示积分下上限, tol为精度, 缺省值为1e-30。,注1:quad用法与quad8相同,但quad8精度较高,且对假收敛和假奇异积分具有一定适应性,而quad较差。,注2:trapz, quad, quad8都不能用于求广义 积分。,3、重积分,矩形区域二重积分. z=dblquad(‘fun’,a,b,c,d) 其中fun 表示被积函数 f 的M函数名, a,b表示变量 x 的下上限,c,d表示变量 y 的下上限。,dblquad只能求矩形区域的二重积分,不如上述M函数dblquad2适用面广。,4、符号积分int(s) 符号表达式s 的不定积分;int(s,v) 符号表达式s 关于变量v的不定积分;int(s,a,b) 符号表达式s 的定积分, a,b分别 为下上限; int(s,v,a,b) 符号表达式s 关于变量v 从 a 到b的定积分。,例 3(引例) 现在来求大蛋糕重量和表面积:解 » syms h; r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h))/5;»vpa(int(pi*r^2,h,0,1),5) , rn=subs(r,h,1); » vpa(int(2*pi*r,h,0,1)+pi*rn^2,5),例 4 一半径为5m的球形水罐充满了水,底部有一半径为b=0.1m的小孔漏水,问多少时间以后,水面下降至离底部0.5m?,解 水从孔漏出的速度由下列能量方程决定g(z+R)=u2/2 , u是
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