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曲线积分96496.ppt

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第四节 曲线积分 教学重点 曲线积分的概念、性质及计算方法 格林公式 曲线积分与路径无关的条件教学难点 对坐标的曲线积分的概念 格林公式 曲线积分与路径无关的条件教学时数 2学时教学方法 讲练结合,一 对弧长的曲线积分,二 对坐标的曲线积分,返回,1 引例,对弧长曲线积分的定义 定义 设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界。用L上的点将L分割成n个小弧段 .记 的长度为 ,设 上任一点,如果极限存在( 长度的最大值),则称这个极限值为函数f(x,y)在曲线L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记为 即其中f(x,y)称为被积函数,L积分弧段,dl弧长元素。,,,,,,,,,,,对弧长曲线积分的性质性质1 性质2 ( k为常数)性质3 性质3可以推广到有限条曲线的情形。,,,,对弧长曲线积分的计算 定理 设有界函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续,L的参数方程为其中,函数x(t),y(t)在 上具有一阶连续导数, 则 存在,且有注:(i)依公式(9-24)计算积分时,先把积分式中的x,y,dl依次换为 ,然后计算 的定积分。(ii)积分下限 一定要小于上限 ,这是因为dl总是正值,从而dt0。因此 .,,,,,,,,,,如果曲线L的方程为: 。必须把它看作特殊的参数方程 由公式(9-24)可得类似地,如果L的方程为: ,则有,,,,,,例1 计算 L是抛物线上从点O(0,0)到 A(1,1)之间的那段曲线弧。解 因为L的方程为 ,所以,,,,例2 设曲线L为椭圆 在第一象限的弧段, 求 。,,,解 L的参数方程为 所以于是令 当 时,于是得 。,,,,,,,返回,1引例 变力沿曲线所作的功设一点在变力 作用下,沿xoy平面内光滑曲线L从点A移动到点B,求 所作的功。,,,因为 是变力,且质点沿曲线移动,所以 所作的功不能按常力沿直线作功公式 来计算。,,,,由于我们总假设函数 在L上是连续的。故仍可通过分割、近似代替、求和、取极限来解决这个问题。,,先用L上的点 把L分成n个小弧段因弧段 很小,故可用有向小线段 来近似代替它。其中 。在小弧段 ,用这点处的力 代替 上其它点处的力。于是, 所作的功近似等于当各小弧段长度的最大值 时,这个和式的极限就是W的精确值,即,,,,,,,,,,,,,2对坐标的曲线积分的定义可分解为对坐标x的曲线积分:与对坐标y的曲线积分:这两个积分也成为第二类曲线积分,应用中经常出现组合曲线积分:,,,,,,,,如引例中的功可表为,,3.对坐标的曲线积分的性质具有和弧长完全相同的性质1、2、3。此外,它还有如下重要性质。 性质4 用L和-L表示方向相反的同一段光滑曲线弧,即若,则有 .因为当积分路径(即积分弧段)的方向相反时,有向弧段在坐标轴上的投影符号也相反,从而导致 改变符号。所以上式成立。,,,,,,4 对坐标的曲线积分的计算 定理 设函数 在光滑有向曲线弧L上连续。L的参数方程为 。 具有一阶连续导数。当t单调地由 变到 时,点 从L的起点A沿移动到终点B,则积分 存在,且可化为关于t的定积分,,,,,,,,,应注意,公式(9-29)中的 对应L的起点,对应L的终点。 。 如果L的方程为 ,可把它 看作以x为参变量的参数方程 ,由公式(9-29)可得相应公式其中,a和b分别是L起点和终点的横坐标。类似地,如果L的方程为 ,则有其中,c和d分别是L起点和终点的纵坐标。,,,,,,,,,例1 计算 ,其中(1) L为抛物线 上从点A(1,-1)到点B(1,1)的弧段
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