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正规子群与商群.ppt

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§2.2 正规子群与商群 ( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group),前面我们已经看到,一个群G的子群H的左陪集aH与右陪集Ha不一定相等,当aH=Ha时,具有此种特性的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群的性质有十分重要的作用,是非常重要的子群。 2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup) 定义:设H≤G,  a∈G,若aH=Ha,则称H为G的正规子群(不变子群),记做H  G。,例1. 对称群S3的子群H={(1)(1 2 3)(1 3 2)}是它的正规子群,而子群{(1)(1 2)}及{(1)(13)}, {(1)(2 3)}都不是它的正规子群。,例2. 任意群G的两个平凡子群G和{e}都是G的正 规子群。G的不等于G的正规子群称为G的真正规子群。若G≠ {e},但G中除G 和{e}外无其它正规子群,则称G为单群。,例3. 交换群G的任意子群H显然都是正规子群。 例4. 群G中所有与G的任意元能够交换的元构成G的一个正规子群。这是G的一个重要的正规子群,叫做G的中心,记做C(G)C(G)={x| x∈G,xa=ax,  a∈G }。 例5. 群G中指数为2的群必为正规子群。 事实上,设H≤G,[G:H]=2,取a∈G \ H,则H∩aH=φ, H∩Ha=φ, 又G=H∪aH,且G=H∪Ha,由陪集性质得aH= G \ H=Ha。∴H G,2.2.2 正规子群的性质(Properties of Normal Subgroup) 定理:设H是G的子群,则以下几个命题是相互等价的。 a ∈G,有aH= Ha(即H  G)  a ∈G,  h ∈H,有aha-1 ∈H a ∈G,有aHa-1  H a ∈G,有aHa-1= H,证明: (1)(2): a∈G,  h∈H,有ah ∈Ha,推出ah=h1a,所以aha-1=h1 ∈H (2) (3): aha-1∈H,得到 aHa-1  H (3) (4):  a∈G,有aHa-1  H,也有a-1Ha  H; 又 h ∈H,有aha-1=h1 , ∴h=ah1a-1 ∈ aHa-1, ∴ H  aHa-1, ∴ aHa-1=H (4)  (1): aHa-1=H,得(aHa-1)a=Ha,  aH=Ha,例. 考虑4次对称群S4,令 K4={(1),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)},则易证K4是S4的一个子群,而且是正规子群。但H={(1),(1 2 4),(1 4 2)}是S4的子群,不是正规子群。正规子群还有以下性质: (1)设A  G,B  G,则A∩B  G,AB  G (2)设A  G,B≤G,则A∩B  B,AB≤G (3)设A  G,B  G,且A∩B={e},则 a∈A,  b∈B,有ab=ba,2.2.3 商群(Quotient Group) 设H  G,则G关于H的左陪集的集合与右陪集的集合相等,记做G/H。 G/H={aH|a∈G}={Ha|a∈G}定义 由H确定的G中的元素间的等价关系~为同余关系: a~b  a-1b ∈H  a≡b(modH) 则每一个陪集记做 =aH,称为模H的一个同余类,故 G/H={ | a∈G }。,定理: 设H  G,则G/H对子集乘法构成群,称为G关于H的商群。证明: 不难证明子集乘法: aH,bH∈G/H, aH·bH ={ah1bh2|h1,h2∈H}是G/H中的一个二元运算(封闭性,唯一性,结合律)。且G/H中有单位元H:aH ∈G/H,aH·H=H · aH=aH。又任意aH∈G/H,有逆元a-1H。故G/H关于子集乘法构成群。,例: 在(Z,+)中, Hm=是正规子群, Z/Hm=Z/(m)={ }, 即整数模m的同余类群。 一般地,G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。,根据正规子群和商群的定义及性质不难得到: 推论1 设H  G,则 ⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H ); ⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H. 推论2 设G为交换群,H是G的子群,则商群G/H也是交换群。 推论3 有限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End,
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