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张量分析简介.ppt

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张量分析简介,引言张量的基本概念,爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律,张量方程张量代数,商法则常用特殊张量,主方向与主分量张量函数及其微积分,Appendix A,,张量基本概念,标 量(零阶张量) 例如:质量,温度 质量密度 应变能密度 等等。 其值与坐标系选取无关。,,,,,,,张量基本概念,,矢 量(一阶张量) 例如:位移,速度, 加速度,力, 法向矢量, 等等。,矢 量(一阶张量) 矢量u在笛卡尔坐标系中分解为,,,其中u1, u2, u3 是u的三个分量,e1, e2, e3是单位基矢量。,张量基本概念,,矢 量(一阶张量),,,既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关,满足坐标转换关系;遵从相应的矢量运算规则。,张量基本概念,,,,张量基本概念,,张量(高阶),例如:一点的应力状态要用应力张量表示,它是具有二重方向性的二阶张量,张量的各个分量值与截面法线方向和应力分解方向有关。,具有多重方向性的更复杂的物理量。,矢 量(可推广至张量)的三种记法:,实体记法: u分解式记法:分量记法:,Appendix A.1,,,张量基本概念,,Appendix A.1,,,,张量基本概念,,指标符号用法 三维空间中任意点 P 的坐标(x, y, z)可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为:,求和约定如果在表达式的某项中,某指标重复地出现两次,则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标,简称哑标。,,,张量基本概念,,,,由于aibi=biai,即矢量点积的顺序可以交换:由于哑标 i 仅表示要遍历求和,故可成对地任意交换。例如:,只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次,且取值范围和 i 相同。,张量基本概念,,约定:如果不标明取值范围,则拉丁指标 i, j, k, …表示三维指标,取值1, 2, 3;希腊指标, , , …均为二维指标,取值1, 2。,张量基本概念,,,拉丁指标,希腊指标,张量基本概念,,二阶张量 应变 ,应力,速度梯度等。 三阶张量 压电张量,等。 四阶张量 弹性张量,等。,,,,张量基本概念,,二阶(或高阶)张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶(或高阶)张量;低阶张量的梯度;低阶张量的并积;更高阶张量的缩并,等。,,,张量基本概念,,应力张量,,,,张量基本概念,,张量的三种记法:实体记法: 分解式记法:分量记法:,,,张量基本概念,,,,张量基本概念,,,求和约定,,,,采用指标符号后,线性变换表示为,利用求和约定,写成:,其中 j 是哑指标,i 是自由指标。,张量基本概念,,,,,在表达式或方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项内出现两次,若在同项内出现两次则是哑指标。例:,,若i为自由指标,★,张量基本概念,,,,自由指标表示:若轮流取该指标范围内的任何值,关系式将始终成立。例如:表达式 在自由指标 i 取1,2,3时该式始终成立,即有,张量基本概念,,★,同时取值的自由指标必须同名,独立取值的自由指标应防止重名。 自由指标必须整体换名,即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。,,,,i 换成k,★,★,张量基本概念,,,,指标符号也适用于微分和导数表达式。例如,三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系,可简写成:,场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分:,★,张量基本概念,,22,,,可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。 例如:,若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和,一般应加求和号。如:,★,★,张量基本概念,,23,,,但若ai可以任意取值等式始终成立,则可以通过取特殊值使得上式成立。,★,张量基本概念,,24,,,小结,通过哑指标可把许多项缩写成一项,通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。 一般说,在一个用指标符号写出的方程中,若有 k 个独立的自由指标,其取值范围是1~n,则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项中若同时出现 m 对取值范围为1~n 的哑指标,则此项含相互迭加的 n m 个项。,张量基本概念,,25,目 录,Appendix A,,引言张量的基本概念,爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律,张量方程张量代数,商法则常用特殊张量,主方向与主分量张量函数及其微积分,26,,,符号ij 与erst,ij 符号 (Kronecker delta)定义(笛卡尔坐标系),,27,3. 换标符号,具有换标作用。例如:,,,2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间,即:如果符号 的两个指标中,有一
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