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GCT工程硕士数学讲义2.doc

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清华在线 www.qinghuaonline.com 010-62771166 62781166 1第四部分 一元函数微积分在 25 个考题里面占 6 个,主要考在一元微分学部分,微分学占到了 ,现在微分学的题目有四个,积分学23可能有两个题目。从题目的难度说,04、06 两年,微积分的题目计算量是偏大的,03、05 两年题目的难度不大,但也有难题。从出题目的类型说,只有一个题目没有复习,就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管,已经考过了。微积分[一元微积分内容总结]一、有关函数进一步讨论:二、极限;极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质; 0sinlm1x→12x1limex( ) 201coslix0ln(1)imxx③无穷大与无穷小的关系;④理解无穷小比较;f(x)=o(g(x)) (c≠0,c≠1)()0fxg()1fxg()fc第三章 连续函数连续的定义,左右连续的定义,连续与左右连续的关系,间断点,间断点的分类,连续函数的运算性质,连续函数的性质。给出一个函数,给出一点,判断函数在这点清华在线 www.qinghuaonline.com 010-62771166 62781166 2是否存在左极限和右极限存在且相等,相等就是连续的。给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点;2.单独给出定义的点;sinx0()fx,,最大值存在性和最小值的存在性;第四章 导数和微积分的概念、导数的运算1.概念; 00(()limxfxf) 存 在 ;000(()ofxfa) +) 0()ofx=+)2.性质;①可导定连续;反之不成立。②可导和可微是等价的;反之亦成立。3.运算;①基本初等函数的导数要记住;②加减乘除的求导法则记住;③复合函数的联导法则要记住; ()yfgx()yfgx( ) g()xyfln()ln()ygxf一、两类概念1.反映函数局部性质的概念极限、连续、可导(导数) 、可微(微分) 、极值(点)等2.反映函数整体性质的概念有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等二、三种运算清华在线 www.qinghuaonline.com 010-62771166 62781166 31.极限运算常用方法:四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等2.求导运算需要掌握:定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式3.积分运算(1)不定积分运算:基本积分公式、换元积分法、分部积分法(2)定积分运算:定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法三、几个应用1.单调性、极值、最值问题(不等式、方程的根)2.凹凸性、拐点问题3.平面图形的面积问题[一元微积分中的常见问题]一、 求函数表达式的问题1.已知 , 求 的表达式.1)(2xf )(xf解:令 得 ,故tx 21)(2ttf.2)(xf2.已知 求 ..2,,4)(,1,0)( xxgxf )(xfg清华在线 www.qinghuaonline.com 010-62771166 62781166 4解: ) .  .1,4,3)(42)(,2,4)( xfxffxfg3.已知 ,求 .efcosin f解: 因为 ,xxx eef )cos(in)()(所以 defcsiCxsin因此 .f)i(l)(4.设 ,求 .xdxfarctndxf)(1解:因为 ,Cft)(所以 .21xf因此 .xdxdf  421)()(5.已知 ,求 , .102)(fexf 0)(df)(f解:因为 ,所以)()(dxffx, 101010210 )((3)( dxfefedxf因此 , .)(3)(fxf)2()(二、研究函数的奇偶性的问题1. .奇函数)(2)xexf2. .1ln2f解:因为对任意的 , 都有定),(x )1ln()2xxf清华在线 www.qinghuaonline.com 010-62771166 62781166 5义,且 ,)()1ln)(l1n)(22xfxf所以 是奇函数;l)(xf3.研究函数 的奇偶性.xdttf02)1ln(解:因为对任意的 , 都存,xdttf02)1ln((在,且 )()1lnl )(1n(l)0202xfduuduuttxfx所以 是偶函数.ttxf0
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