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函数极值ppt.ppt

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利用导数研究函数 的极值,赤峰二中:朱明英,,,函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4),与它们左右近旁各点处的函数值,相比有什么特点?,观察图像:,例1,一、函数的极值定义,如果对X0附近的所有点X,都有f(x)f(x0),,则称函数f(x)在点X0处取极大值, 记作y极大值= f(x0);并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。,◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点,已知 函数y=f(x),设X0是定义域(a,b)内任一点,,,,,,,,,,,,,探究 1、图中有哪些极值点和最值点?2、函数极值点可以有多个吗?极大值一定比极小值大么?3、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗?,练习:课本30页A、1,(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值,而最值是对整体而言。 (2)极大值不一定比极小值大。(3)极值点不一定是最值点。,观察与思考:极值与导数有何关系?,在极值点处,曲线如果有切线,则切线是水平的。,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,,,f (b)=0,结论:设x=x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x=x0是可导的,则必有f (x0)=0,f (x)0,,x1,,,,f (x)0,,f (x)0,,f (x)0,,,二、判断函数极值的方法,x2,,,,,,点评:可导函数,在点x0取得极值的充分必要条,件是,且在点x0左侧和右侧, f (x) 异号。,注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,练习:判断下面4个命题,其中是真命题序号为 。 ①可导函数必有极值; ②函数的极值点必在定义域内; ③函数的极小值一定小于极大值。 (设极小值、极大值都存在); ④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。,②,1、求可导函数f(x)极值的 步骤:,(2)求导数f '(x);,(3)求方程f ’(x)=0的根;,(4)把定义域划分为部分区间,并列成表格,检查f ’(x)在方程根左右的符号—— 如果左正右负(+ ~ -),那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正(- ~ +),那么f(x)在这个根处取得极小值;,(1) 确定函数的定义域;,,,,,,例2 求函数 的极值。,解:定义域为R,y′=x2-4,由y′=0可得x=-2或 x=2,当x变化时,y′, y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时, y极大值==28/3,当x=2时, y极小值=-4/3,,,,(-∞,-2),(-2,2),,(2,+∞),+,,-,+,极大值28/3,极小值 -4/3,2、思考与讨论:在区间[-3,5]上,,最小值分别是多少?[-3,3]上呢?,4、求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最值步骤如何?,的最大值,,,1、求y=f(x)在开区间(a,b)内所有使f ’(x)=0的点; 2、计算函数y=f(x)在区间内使f ’(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。,练习,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,–,,,所以, 当 时, f (x)有极小值,,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,–,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,,,,所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .,练习,练习:下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处,(1)导函数 有极大值?(2)导函数 有极小值?(3)函数 有极大值?(4)函数 有极小值?,或,,例3 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解:定义域为R, y′=6x(x2-1)2。,由y′=0可得x1=-1, x2=0 ,x3=1。导函数图象如下:,因此,当x=0时, y极小值=0,点评:可导函数,在点x0取得极值的充分必要条,件是,且在点x0左侧和右侧, f ’(x)异号。,练习:课本30页A 2(2),例4 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时取极大值7;当x=3时取得极小值, 求这个极小值及a、b、c的值。,练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值
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