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二次函数知识点总结[1].doc

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1二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数。 2yaxbca何0a这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全0bc何体实数.2. 二次函数 的结构特征:2yaxbc⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是 2.xx⑵ 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项.bc何 bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式: 的性质:2yaxa 的绝对值越大,抛物线的开口越小。2. 的性质:2yaxc上加下减。3. 的性质:2yaxh左加右减。的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0何轴y时, 随 的增大而增大; 时,0xyx0x随 的增大而减小; 时, 有最小y值 .0向下 何轴时, 随 的增大而减小; 时,随 的增大而增大; 时, 有最大xx值 .的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0c何轴y时, 随 的增大而增大; 时,0xyx0x随 的增大而减小; 时, 有最小y值 .c向下 何轴时, 随 的增大而减小; 时,随 的增大而增大; 时, 有最大x0x值 .的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h何X=h时, 随 的增大而增大; 时,xhyxxh随 的增大而减小; 时, 有最小y值 .024. 的性质:2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐标 ;2yaxhkhk何⑵ 保持抛物线 的形状不变,将其顶点平移到 处,具体平移方法如下:2yax何 【【(h0)【【【(h0)【【【(k0)【【【(h0)【【【(h0)【【【(k0)【【【【(kO;③4a+cO,其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个答案:D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知:关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2,且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2,则抛物线的顶点坐标为( )A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)答案:C例 4、 (2006 年烟台市)如图(单位:m) ,等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动,直到 AB 与 CD 重合.设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2.(1)写出 y 与 x 的关系式;(2)当 x=2,3.5 时,y 分别是多少?(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= x2+x- .15(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB 的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.9例 6.已知:二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4,10),交 x 轴于 , 两点)0,(1A),(2xB,交 y 轴负半轴于 C 点,且满足 3AO=OB.)(21x(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点 M,使锐角∠MCO∠ACO?若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.(1)解:如图∵抛物线交 x 轴于点 A(x1,0),B(x2,O),则 x1·x2=3O,x 1∠ACO.例 7、 “已知函数 的图象经过点 A(c,-2) , cbxy21求证:这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。点评: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点 A(c,-2) ”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。[解答] (1)根据 的图象经过点 A(c,-2) ,图象的对称轴是 x=3,得cbxy
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