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单因素实验设计.ppt

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单因素优化实验设计,定义实验中只有一个影响因素,或虽有多个影响因素,在安排实验时,只考虑一个对指标影响最大的因素,其它因素尽量保持不变的实验,即为单因素实验。 步骤 确定实验范围 x:实验点 a<x<b确定目标 根据实际及实验要求,科学安排实验点,例1.某厂在电解工艺技术改革中,希望提高电解率,做了如下初步试验,结果如下:其中,74度结果较好,但是,74是不是最佳温度?我们可以采用两种方案:方案一:在74度附近逐点做实验,如:70,71,72,显然太费时间方案二:根据试验结果呈抛物线特点,可以预先拟合为:,应用测定的多组数据,可以拟合出曲线,求得相应的参数 a,b,c,然后由方程求极大值的方法,可以获得对应的温度为70.5℃,经核实在该温度下电解率达到99.5%,表明优化一次成功 单因素优化实验设计方法单因素试验方法分类均分法对分法黄金分割法(0.618法)分数法,均分法,操作方法优点只要把实验放在等分点上,实验点安排简单。n次实验可同时做,节约时间,也可一个接一个做,灵活性强缺点实验次数较多,代价较大,不经济,x:实验点 a<x<b,对分法(中点取点),操作方法每次实验点都取在实验范围的中点,即中点取点法优点每做一个实验就可去掉试验范围的一半,且取点方便,试验次数大大减小,故效果较好适用情况适用于预先已了解所考察因素对指标的影响规律,能从一个试验的结果直接分析出该因素的值是取大了或取小了的情况,即每做一次实验,根据结果就可确定下次实验方向的情况,这无疑使对分法应用受到限制(单调!!),例:称量质量为20~60g某种样品时,第一次砝码的质量为40g,如果砝码偏轻,则可判断样品的质量为40~60g,于是,第二次砝码的质量为50g,如果砝码又偏轻,则可判断样品的质量为50~60g,接下来砝码的质量为55g,如此称下去,直到天平平衡为准,黄金分割法(0.618法),单峰函数(实验中指标函数)单峰函数不一定是光滑的,甚至也不一定是连续的,它只要求在定义区间内只有一个“峰”函数的单峰性使我们可以根据消去法原理逐步地缩小搜索区间,已知其中包括了极小点的区间,称为搜索区间,0.618法(黄金分割法)的构思设指标函数是一个单峰函数,即在某区间内只有一极小点,为最佳实验点,f(c)f(d),以图a看,设区间[a,b]的长为1,在与点a相距分别为β、λ的点处插入c、d两点,为确定β、λ 的数值,提出如下条件:条件一:c、d两点在[a,b]中的位置是对称的,此时,无论删除哪一段,总能保留长度为λ的区间,即有:条件二:无论删掉哪一段,例如,删掉(db),在留下的新区间[a,d]内,再插入一新点e,使e, f(原区间中的c)在新区间的位置与c, d在原区间[a,b]中的位置具有相同的比例,这样可以保证每一次都以同一λ的比率缩短区间,达到减少函数的计算次数之目的从图a, b看,在新区间[a,d]内,已经包含了算出函数值的f(原区间中的c)。所以在其内只需要再取一个点(而不是两个点)计算函数值,就可以进一步将新区缩短根据条件二,可以获得如下方程,联列条件一、二的方程可得0.618法一般步骤确定实验范围(在一般情况下,通过预实验或其它先验信息,确定了实验范围[a,b] )选实验点(这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、0.382的特殊位置定点的,一次可得出两个实验点x1, x2的实验结果,根据“留好去坏”的原则对实验结果进行比较,留下好点,从坏点处将实验范围去掉,从而缩小了实验范围在新实验范围内按0.618、0.382的特殊位置再次安排实验点,重复上述过程,直至得到满意结果,找出最佳点,0.618法具体步骤计算实验点位置按下列公式计算设和表示x1、x2两点的实验结果,且值越大,效果越好,分几种情况讨论(1)若f(x1)>f(x2),即f(x1)比f(x2)好,则根据“留好去坏”的原则,去掉实验范围[a,x2]部分,在[x2,b]内继续实验。见图1。,若去掉实验范围的左边区间,则新试验点将安排在新实验范围的0.618的位置上(x3),另一个试验点在新范围的0.382的位置上(x4)即除第一次要取二个试点外,以后每次只取一个试点,另一个试验点在已试点上(不做) 同理,比较结果,去点坏点,进一步实验,(2)若f(x1)<f(x2),即f(x2)比f(x1) 好,则根据“留好去坏”的原则,去掉实验范围[x1,b] 部分,在[a,x1] 内继续实验。见图1若去掉实验范围的右边区间,则新试验点将安排在新实验范围的0.618的位置上(x4),另一个试验点在新范围的0.382的位置上(x3),(3)若f(x2)与f(x1) 效果相同,则去掉两端,在[x1,x2] 内继续实验。见图1则有两个新试验点优点每次可去掉实验范围的0.382,每次缩小的比例一样(即0.618),除第一次要取二个试点外,以后每次只取一个试点,用起来较方便,可用较少的实验次数迅速找到最佳点适用条件指标函数为单峰函数,下面通过实例,说明黄金分割法设计实验的具体步骤例1: 目前,合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。为了因地制宜,对于没有石油乙烯的地区,我们开发了乙醇和苯在分子筛催化下一步合成乙苯的新工艺:筛选了多种组成的催化剂,其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温度,就是用黄金分割法通过实验找出的,初步实验找出,反应温度范围在340-420℃之间。在苯与乙醇的摩尔比为5:1,重量空速为11.25h-1的条件下,苯的转化率XB是:第一个实验点位置是:(420-340)×0.618+340=389.4取决于390℃实验结果是:XB=16.5%第二个实验点的位置是:( 420-340) ×0.382+340=370实验测得,370℃下, XB=15.4%,比较两个实验点的结果,因390℃的XB大于370℃的XB,删去340-370℃一段,在370℃到420℃范围内再优选。第三个实验点位置是:(420-370) ×0.618+370=400实验测得400℃下,XB=17.07%因400℃的XB大于390℃的XB,再删去370-390℃一段,在390-420℃范围内再优选。第四个实验点的位置是:(420-390) ×0.618+390=410在410℃下测得XB=16.00%,已经小于400℃的结果。故此,实验的最佳温度确定为400℃。在此温度下进行反应,获得成功,通过了鉴定,分数法(Fibonacci Search),分数法又称费波那契搜索(Fibonacci Search),基本思想和0.618法是一致的,主要不同点是:0.618法每次都按同一比例常数0.618来缩短区间,而分数法每次都是按不同的比例来缩短区间的,它是按菲波那契数列{Fn}产生的分数序列为比例来缩短区间的 菲波那契数列13世纪意大利人Fibonacci曾经考虑过这样一串数, 称之为Fibonacci数列{Fn},这个整数序列写出来就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…(1)由上述菲波那契整数数列可得:菲波那契搜索法(分数法)用Fibonacci数列的规律进行区间搜索最优点的方法称之为Fibonacci法,该数列前后两项之比为分数数列{Fn/ Fn+1}Kiefer首先研究利用上述分数数列及其关系式(3)找实验范围内最佳实验点方法是:在[0,1]区间内选择 1 ,2两点,令即按分数序列的规律选择实验点位置,比较结果,然后舍掉不包括最优点的一段,在缩短了搜索范围后继续找点,比较实验结果,当搜索区间小于给定精度值时,整个过程结束,分数法具体作法分两种情况① 所有可能进行的实验总次数m=Fn-1时,即m正好与Fibonacci数列中某数减一相一致时,则前两个实验点分别放在Fn-1和Fn-2位置上例:在配制某种清洗液时,要优选某材料的加入量P,实验范围2%~13%,采用1%为一个实验点,则可能实验总次数为12次,符合m=12=13-1=F6-1,3)分数法具体作法,分两种情况,,4)分数法的特点,1)具体搜索步骤与前述0.618法基本一致,所不同之处仅仅是选的实验点位置是分数 , ,且要求预先给出实验总次数。2)在实验点能取整数时,或由于某种条件限制只能做几次实验时,或由于某种原因,实验范围由一些不连续的、间隔不等的点组成或实验点只能取某些特定值时,利用分数法安排实验更为有利、方便。3)适合于单峰函数。,,,,通过数学计算可知,经过同样次数的分割后,分数法的缩减速度比0.618法快,当N很大时,分数法比0.618法效率高17%,对于这种两方法而言,大约每分割十次,可提高两位精度,适用于单峰函数,对于实验范围为间断点的尤为适用。,单因素优选法作业,1、已知某合成试验的反应温度范围为340~420℃,通过单因素优选法得到:温度为400℃时,产品的合成率最高,如果使用的是0.618法,问优选过程是如何进行的,共需做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函数。2、某厂在制作某饮料时,需要加入白砂糖,为了工人操作和投料的方便,白砂糖的加入以桶为单位,经初步摸索,加入量在3~8桶范围内优选。由于桶数只宜取整数,采用分数法进行单因素优选,优选结果为6桶,试问优选过程是如何进行的。假设在试验范围内试验指标是白砂糖桶数的单峰函数。,3、要将200mL的某酸性溶液中和到中性(可用pH试纸判断),已知需加入20~80mL的某碱溶液,试问使用哪种单因素优选法可以较快的找到最合适的碱液用量(55mL),并说明优选过程。,
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