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单变量最优化.ppt

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数学建模案例之单变量最优化 生猪的最佳销售时间,2010.9,,,问题,一头猪重200磅(1磅=0.454kg),每天增重5 磅,饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每 磅65美分,但每天下降1美分。 问题:求出售猪的最佳时间。 清晰问题:需要回答,获得最大收益时的出售时 间及其收益。,1.问题分析与假设、符号说明,涉及的变量:1.猪的重量w(磅),2.饲养时间t≥0(天),3.t天内饲养猪的花费C(美元),4.猪的市场价格p(美元/磅),5.售出生猪所获得的总收益R(美元),6.我们最终获得的净收益P(美元).,1.问题分析与假设、符号说明,涉及的常量:1.猪的初始重量200(磅),2.饲养每天的花费0.45(美元),3.生猪增加重量s(=5磅/天),4.当前的市场价格0.65(美元),5.生猪的价格下降速率r(=0.01美元/磅.天)。,1.问题分析与假设、符号说明,变量之间的关系: 假设1:猪的重量从初始的200(磅)按每天s(=5磅)增加,于是有 关系:w(磅)=200(磅)+s(磅/天)×t(天)假设2:当前的市场价格0.65(美元/磅),生猪的价格下降速率 r(=0.01美元/磅.天),那么在t天时出售时生猪的价格为:p(美元/磅)=0.65(美元/磅)- r(美元/磅.天)×t(天),1.问题分析与假设、符号说明,因此,我们有如下关系式:饲养生猪的总的费用为:C(美元)=0.45(美元/天)×t(天)售出生猪时获得的总收益为:R(美元)=p(美元/磅)×w(磅)最终获得的净收益为:P(美元)=R(美元)-C(美元) 小技巧:分析中列出变量的单位有助于检查所列等式是否有意义。当生猪卖出获得最大收益的时间即为最佳出售时间,因此原 问题转化成数学表达就是求P达到最大时的时间t≥0,其中P的表 达式为:P(t)=R(t)-C(t)=p×w-0.45t=(0.65-rt)(200+st)-0.45t,2.建立数学模型,由上述分析与基本假设,原问题的数学模型如下:(2.1)其中,r,s为模型参数,此处取值为s=5,r=0.01.,,3.模型求解,当s=5,r=0.01时,这是一个单变量t的函数的最优化问题, 而且P(t)是一个连续可微的函数。可以利用微积分知识求解,其 求解过程如下: (1)求驻点:P’(t)=-2rst-200r+0.65s-0.45 驻点为:t*=(-0.45+0.65s-200r)/2rs (3.1)代入常量参数得到: t*=8(天),P(8)=133.20(美元)。,3.模型求解,(2)判断是否为极值点:函数P(t)在区间(0,8)是单调上升的,而在区间(8,+∞)是单 调下降的,因此,P(t)在点t*=8达到全局最大值:133.20,图1为 P(t)的图形。(图1 净收益P(t)关于时间t的曲线)至此,我们可以回答原来的问题答案,在8天后出售,可以 获得最大净收益133.20美元。,4.灵敏性分析,在实际问题中,我们不会有绝对准确的信息,即使能 够建立一个完美的精确的模型,我们也可能采用较简单和 易于处理的近似方法,因此我们必须考察数学模型的稳键 性:即使数学模型不完全正确,由其导出的结果仍然正确。在建模过程中我们提出了两种类型的假设:(1)数据假设 (2)其它假设由于我们很少能够保证这些假设都是完全正确的,因此 我们需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度,它是数学 建模过程中的一个重要方面,具体问题与所建立的模型以及 求解方法有关。,,,4.灵敏性分析:,数据是由测量、观察甚至猜测得到,因此需要考虑数据 的不准确的可能性。有些数据的具有相当大的确定性,如生 猪当前的重量,生猪现在的价格,每天饲养花费;有些数据 的确定性却很低,如猪的生长速率s,价格的下降速率r。在前面,我们假设s=5(磅/天),r=0.01(美元/天)。,,,1)考虑s不变,r发生变化时,最佳出售时机关于价格下降速率的灵敏性,先对r取几个不同的值做实际计算,观察其变化规律, 计算结果见表1。观察表1可以得到,随着r增加,t*减小。更详细的分析是 考察(3.1)式,我们将s=5(磅/天)代入(3.1)中,可得: t*=(2.80-200r)/10r (4.1)只要t*≥0,即0r≤0.014,最佳售出时间由(4.1)确定, 它们的关系曲线见图2。,,,,2)考虑r不变,s发生变化时,最佳出售时机关于生长速率的灵敏性,先对s取几个不同的值做实际计算,观察其变化规律, 计算结果见表2。观察表2可以得到,随着s增加,t*增加。更详细的分析是 考察(3.1)式,我们将r=0.01代入(3.1)中,可得: t*=(65s-245)/2s (4.2)只要t*≥0,即s≥3.77,就可以继续饲养
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