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半径为R的圆的内接矩形面积的最大值.doc

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半径为R的圆的内接矩形面积的最大值.doc
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半径为 R 的圆的内接矩形面积的最大值。用好书上一道题,抵做百道资料题。横看成岭侧成峰,远近高低各不同 。视野开阔,思维活跃。条条大路通罗马,百川归海。化多元为一元。法一:设矩形的长和宽分别为 。则,xy,(0,2)R矩形面积 : sxy又 224xR所以 sx2242()x3)'8sRx令 得 , (舍)2('02Rx(0,)2R(2,)R2()'s+ 0 A极大值 A由上表可知 在 处取得极大值也是最大值2sxR所以矩形面积 在 处取得最大值为 ,此时 ,即此矩形为正方形。2Rxy法二:利用均值不等式设矩形的长和宽分别为 。则,xy,(0,)矩形面积 : s又 224xyR所以22xys当且仅当 ,即此矩形为正方形时,面积最大,最大值为 。R2R法三:分割成四个小三角形,求面积分别连接圆心 o 和矩形的四个顶点 A,B,C,D。则矩形面积 ,其中2214sinsinsOR(0,)AOBOD CBA所以当 时,即矩形为正方形时,面积最大,最大值为 。2AOB 2R法四:分割成四个全等小矩形。设矩形的长和宽分别为 。则 ,xy,(0,)R大矩形面积 : 4s又 22xyR所以224xys当且仅当 ,即此矩形为正方形时,面积最大,最大值为 。R2R法五:引入角连接 AC,记 则,(0,)2CABAB=CD= ,AD=BC 2cosRsin大矩形面积 siR所以当且仅当 时,矩形面积最大,最大值si1,4即为 。此时矩形为正方形。2R拓展:半径为 R 的球的内接圆柱体积最大值。苏教版高中数学必修 4 P109 例 5在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大?苏教版高中数学必修 4 P117 复习题第 14 题:如图,在半径为 R、圆心角为 600 的扇形 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,求这个矩形面积的最大值及相应的 的值。AOPy xOD CBAA BCD O
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