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变异指标1.ppt

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第四节 离中趋势 ——标志变异指标,标志变异指标是反映总体单位标志值分布特征的另一个重要指标。它反映总体各单位标志值变动范围和差异程度,它说明了变量值分布的离中(散)趋势。,,一、离中趋势的测定——变异指标,变异指标是反映总体各单位标志值的差别大小程度的综合指标,又称标志变动度。 平均指标反映总体一般数量水平的同时,掩盖了总体各单位标志值的数量差异。变异指标弥补了这方面的不足,它综合反映了总体各单位标志值的差异性,从另一方面说明了总体的数量特征。 平均指标说明总体各单位标志值的集中趋势,而变异指标则说明标志值的分散程度或离中趋势。,一、离中趋势的测定——变异指标,变异指标是衡量平均指标代表性的尺度。一般来讲,数据分布越分散,变异指标越大,平均指标的代表性越小;数据分布越集中,变异指标越小,平均指标的代表性越大。 常用的变异指标有:全距、平均差、方差和标准差、变异系数。,二、标志变异指标的作用,用标志变异指标衡量和比较平均指标的代表性。 用标志变异指标反映经济活动过程的均衡性、稳定性和节奏性。 标志变异指标在抽样调查中的应用。,二、全距(Range),全距(R)也称为极差,是指总体各单位的两个极端标志值之差,即: R=最大标志值-最小标志值 全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之间的差距。因此,全距(R)可反映总体标志值的差异范围。,二、全距(Range),例5–10 有两个学习小组的统计学开始成绩分别为: 第一组:60,70,80,90,100 第二组:78,79,80,81,82 很明显,两个小组的考试成绩平均分都是80分,但是哪一组的分数比较集中呢? 如果用全距指标来衡量,则有 R甲=100-60=40(分) R乙=82-78=4(分) 这说明第一组资料的标志变动度或离中趋势远大于第二组资料的标志变动度。,二、全距(Range),根据组距计算极差,是测定标志变动度的一种简单方法,但受极端值的影响,因而它往往不能充分反映社会经济现象的离散程度。 在实际工作中,全距常用来检查产品质量的稳定性和进行质量控制。在正常生产条件下,全距在一定范围内波动,若全距超过给定的范围,就说明有异常情况出现。因此,利用全距有助于及时发现问题,以便采取措施,保证产品质量。,三、平均差(Mean Deviation),平均差是总体各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。 它综合反映了总体各单位标志值的变动程度。平均差越大,则表示标志变动度越大,反之则表示标志变动度越小。,三、平均差(Mean Deviation),在资料未分组的情况下, 平均差的计算公式为:,在资料已分组的情况下, 要用加权平均差公式:,三、平均差(Mean Deviation),采用标志值对算术平均数的离差绝对值之和,是因为各标志值对算术平均数的离差之代数和等于零。 仍以甲组学生数学成绩为例,计算平均差如下:A.D=,,例5–11 某厂按月收入水平分组的组距数列如表5–9中前两列,计算平均差,,合计,180,––––,55800,,3700,,,表5–9,,解:根据公式列表计算,得到A.D= 由于平均差采用了离差的绝对值,不便于运算,这样使其应用受到了很大限制。,,,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方的平均数,通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释,所以实际统计工作中多用方差的算术平方根–––标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差,一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法,另外,对于总体数据和样本数据,公式略有不同。,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),(一)总体方差和标准差设总体方差为 ,对于未经分组整理的原始数据,方差的计算公式为:,,,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),对于分组数据,方差的计算公式为:,,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为: 未分组数据: 分组数据:,,,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),(二)样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是:总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和,而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和,其中样本数据个数减1即n-1称为自由度。,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),设样本方差为 ,根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为: 未分组数据: 分组数据:,,,,四、方差(Variance) 与标准差(Standard Deviation),根据未分组数据和分组数据计算样本标准差的公式分别为: 未分组数据: 分组数据:,,,,例5–12 考察一台机器的生产能力,利用抽样程序来检验生产出来的产品质量,假设搜集的数据如下:,根据该行业通用法则:如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005,则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭?,,解:根据已知数据,计算 因此,该机器工作正常。,,,,方差和标准差也是根据全部数据计算的,它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值,因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。,五、变异系数(Coefficient of Variation),上面介绍的各离散程度测度值都是反映数据分散程度的绝对值,其数值的大小一方面取决于原变量值本身水平高低的影响,也就是与变量的均值大小有关。变量值绝对水平越高,离散程度的测度值自然也就越大,绝对水平越低,离散程度的测度值自然也就越小;另一方面,它们与原变量值的计量单位相同,采用不同计量单位计量的变量值,其离散程度的测度值也就不同。,五、变异系数(Coefficient of Variation),因此,对于平均水平不同或计量单位不同的不同组别的变量值,是不能直接用上述离散程度的测度值直接进行比较的。为了消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响,需要计算离散系数。 离散系数通常是就标准差来计算的,因此,也称为标准差系数,它是一组数据的标准差与其相应的均值之比,是测度数据离散程度的相对指标。,五、变异系数(Coefficient of Variation),其计算公式为:,,Vσ和Vs分别表示总体离散系数和样本离散系数。离散系数要是用于对不同组别数据的离散程度进行比较,离散系数大的说明该组数据的离散程度也就大,离散系数小的说明该组数据的离散程度也就小。,第五节是非标志的平均数和标准差,是非标志,又称交替标志,它是用“是” “否”或“有”“无”来表示的。由于是非标志只有两个标志表现,使得研究问题大为简化。 常用1表示具有某种标志表现,其单位数用N1表示,用0表示不具有某种标志表现,其单位数用N0表示,全部总体单位数用N表示。这两部分单位数(N1和N0)在总体单位数(N)中所占的比例,即 “是”或“非”的单位数在全体单位数中所占比例,称为“成数”,分别记为p和q。,第五节是非标志的平均数和标准差,总体中具有某种标志表现的单位数的成数 p=N1/N 总体中不具有某种标志表现的单位数所占的成数 q=N0/ N,第五节是非标志的平均数和标准差,是非标志的均值为p(对于“是”而言) 是非标志的方差为p(1-p)=pq。 是非标志的标准差,
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