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可逆矩阵ppt.ppt

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5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式,一、内容分布5.2.1 可逆矩阵的定义5.2.2 可逆矩阵的性质5.2.3 初等矩阵的定义、性质5.2.4 矩阵可逆的判别5.2.5 逆矩阵的求法5.2.6 矩阵乘积的行列式 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别,5.2.1 可逆矩阵的定义,定义1 A为F上n 阶方阵,若存在n阶方阵B,使AB=BA=I 称A为可逆矩阵(非奇异矩阵),B称为A的逆矩阵.,例:,,A与B互为逆矩阵.,把矩阵A的逆矩阵记为 .,4)可逆矩阵与逆矩阵是两个不同的概念,由等式AB=BA=I 联系着;可逆矩阵一定有逆矩阵,逆矩阵是对于一个可逆矩 阵而言的 ;,Note:1)由于只有方阵才满足AB=BA=I ,所以可逆矩阵 一定是方阵,且它的逆矩阵也是方阵;,3)由于矩阵乘法一般不满足交换律,所以条件要求两个等 式 AB=I, BA=I ;,5)由定义判断一个方阵A是否可逆,在于说明是否存在一个 方阵B,使得AB=BA=I ,一般用待定法转化为方程组判断求解 的问题,比较麻烦(例略),并且并非每一个方阵都可逆.,2)并不是所有的方阵都可逆,比如零矩阵和有一列或一行 全是零的矩阵等 ;,5.2.2 可逆矩阵的性质,1) A可逆,则A的逆矩阵唯一.,证 设B,C均为A的逆矩阵 ,则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =(BA)C = IC = C,证 注意到 ,即得.,证 注意到 ,即得.,4) A可逆,则,2) A可逆,则 可逆,且,证 由 ,有 .,3) A,B可逆,则AB也可逆,且 .(可推广),5.2.3 初等矩阵的定义、性质,定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.,对n = 4,,,都是四阶初等矩阵.,相应地,对于n 阶单位矩阵I ,对其进行初等变换,得初等矩阵,命题1 对A作行初等变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A; 对A作列初等变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A.如,,1、交换A的i ,j 行相当于用 .,,如,,2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .,3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 .,即 .,命题第二结论同理可得.,Note:1)注意一次和相应的含义;2)作用在于把矩阵经初等变换而得到的新矩阵可用 矩阵等式表示出来,为表述和论证有关问题带来方便.,,命题2 初等矩阵都可逆,且逆矩阵仍为同类型的初等矩阵.,,,引理5.2.1 对矩阵A施行一个初等变换后得矩阵 .则,定理5.2.2 任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为(其中r(A)=r).,进一步有,初等变换不改变矩阵的可逆性.,Note:引理提供了一种思想:对要判断矩阵可逆性,可考虑 用初等变换化为最简单的形式,从最简单形式的矩阵的可逆 性判断原矩阵的可逆性。问题是,矩阵在初等变换下的最简 形式如何?为此有:,证 由定理4.1.2,A可通过行及第一种列变换化为,,,对(*)作第三种列变换即可化为 .,Note:1)定理的结论可叙述为:存在一些初等矩阵使,,2) 也可叙述为:存在阶m可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得,3)由此可得判断矩阵可逆的思想:对A作初等变换化为,则A与 有相同的可逆性,而 的可逆性容易判断:,当 时可逆;当 时不可逆(因它与任一方阵 乘积的结果至少有一行全为0).并且由此易得:,命题3 n阶矩阵A可逆的充分必要是它可以通过初等变换化 为单位矩阵I.,5.2.4 矩阵可逆的判别,,定理5.2.3 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以写成初等矩阵的积.,,定理5.2.4 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的秩等于n .,定理5.2.5 n 阶矩阵A可逆的充分必要条件是detA≠0.,5.2.5 逆矩阵的求法,① 行初等变换法,,,A可逆,由 ,即存在初等矩阵 ,使,,即,例1,从而,② 公式法,设,,,,则由行列式的依行依列展开公式,,,有,,即,若A可逆,则|A|≠0,从而,,即,,,,,,例3:求矩阵 的逆矩阵.,,解法一 利用公式,因为,,,,计算每个元素 的代数余子式,,,,,,所以,,,解法二 行初等变换法.,,,,所以,例4 解矩阵方程 其中,,,解 显然A是可逆的.先求出,,,再在原方程两边左乘
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