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合作博弈.ppt

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合 作 博 弈,COOPERATIVE GAMES,合作博弈的含义,前面介绍的各种博弈模型,都是非合作博弈模型 这些(非合作博弈)模型的一个共同特点是强调“个体理性 (individual rationality)”,合作博弈则强调群体理性 (group rationality) 群体理性的含义是:从一个群体整体角度,研究策略的选择,使得整体效用最大 字典中合作的含义指“为共同目的而一起行动”,合作博弈的含义,与非合作博弈相比,需要一个描述集体理性的效用函数。 纳什认为(1951),可利用纳什均衡这一基本概念(非合作博弈的理论基础),通过参与人间讨价还价过程,达成合作的实现。在协议集(bargaining sets)理论中对此进行了描述。 详细论述参考文献[3]、[4]相应部分。,合作博弈的含义,可传递效用 (transferable utility),为描述n人合作博弈,通常假设合作博弈具有可传递效用 简单地说,该效用就像货币一样,可以在各参与人之间自由转让,合作博弈的特征函数,合作博弈的特征函数 (characteristic function)是指,对于每一个联盟 (coalition)S (S为N的任意一个子集),指定一个函数v (S),用以描述联盟S无需求助于S之外的参与人(N\S)所能得到的可传递效用的总量,合作博弈的特征函数,特征函数满足 v (φ) = 0 对于满足对于S∩T= φ的联盟,若成立 v (S∪T) ≥ v (S) + v (T) 则称v 是超可加的(superadditive) 关于特征函数的一些深入讨论此处从略 合作博弈的各种解概念,就是基于特征函数进行的。,合作的分配,记一个合作博弈为 {N, v (S), S N} 一个分配(payoff allocation)就是一个向量 x = (xi), i N 分量 xi 可以被解释为合作结果对参与人i的效用分配水平。,可行分配,说一个分配对于联盟S是可行的(feasible for a coalition S) 当且仅当,核心的定义,说联盟S能改进一个分配 x,当且仅当 v (S) Σi∈S xi 当且仅当x是可行的,且不存在联盟能改进x 时,才说分配 x在合作博弈的核心(core)中,即 x在核心中的充要条件是,核心的定义,一般来说,核心是一个集合。可能结果是(具体实例从略):无穷集,唯一集,空集。 核心的理解是,如果合作博弈的一个可行分配 x 不在核心中,那就存在一个联盟S, 该联盟中的参与人可通过更好地合作,并在他们之间分配价值v ( S),使得该分配结果严格优于x。,Shapley 值,合作博弈的核心可能结果可能是空的或非常之大,这限制了核心作为合作博弈的解的应用 我们希望导出一个具有普遍意义的解概念 Shapley 值是其中重要的解概念之一,Shapley公理 Shapley 提出了看上去比较合理的几个公理假设 在这些假设下,Shapley 证明了任何合作博弈 (N, v)存在唯一的Shapley值。可作为合作分配的一个解概念。,Shapley 值,参与人集合N的一个置换 (permutation),是任一函数π:N  N,使得对于N中的每个j, N中恰好存在一个i, 使得π(i) =j( π是单射,又是满射) 给定上述置换π和任一联盟博弈v, 令πv为满足 π v ({π (i) | i∈S})=v (S), S为N的任一子集 的联盟博弈。,Shapley 值,Shapley 公理1(对称性)对于合作博弈(N, v), 在任一参与人的置换映射π(i) 下,分配结果应保持不变,即有 φπ(i) (πv) = φi(v) 公理1表明:一个参与人在博弈中的角色才是唯一的,而不是他在集合N中的特定名字或标号。,Shapley 值,Shapley 值,说一个联盟R是合作博弈v的一个载体(carrier),如果 v (S∩R)=v (S), S是N的任意子集 若R是v的一个载体,那么所有不在R中的参与人称为v的“多余人 (dummies)”,因为他们进入任何联盟都不会改变该联盟的价值。,Shapley 值,公理2(载体公理),对于合作博弈v和博弈的任一联盟R, 若R是v的一个载体,则,公理3(线性性)对于任意两个合作博弈v, w,满足0≤p ≤1的任意p,以及N中的任一参与人i, 均有,Shapley 值,在上述3个公理假设下,Shapely证明了,存在唯一的一个映射φ,称为Shapley 值,为,Shapley 值,若v是超可加性的,则Shapely值从 φi (v) ≥ v({i}), i∈N 看,一定是个人理性的。因为超可加性意味着,Shapley 值,哥本哈根气候峰会博弈,哥本哈根气候峰会博弈,由美国、日本、澳大利亚等国组成的“伞形
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