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合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第03章.ppt

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合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第03章.ppt
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《机械优化设计》,合肥工业大学 吕新生 张晔 2009.12,《机械优化设计》,2,本书目录,第1章 概述,第2章 约束优化设计的直接法,第3章 约束优化设计的间接法,第4章 混合离散变量的优化设计方法,第5章 多目标优化设计方法,第6章 复杂系统优化的分解—协调法,第7章 其它优化设计方法,《机械优化设计》,3,第3章 约束优化设计的间接法,3.1 约束优化间接法的基本思想和理论 3.1.1 约束优化间接法的基本思想 3.1.2 约束优化间接法的基本理论 3.2 罚函数法 3.2.1 外点罚函数法 3.2.2 内点罚函数法 3.2.3 混合罚函数法 3.3 增广拉格朗日乘子法 3.3.1 等式约束问题 3.3.2 不等式问题约束问题 3.3.3 应用实例 3.4 约束变尺度法 3.4.1 用序列二次规划寻找Pk 3.4.2 一维搜索中的监控(Watchdog)技术 3.4.3 尺度矩阵的修正 3.4.4 框图 思考与练习,《机械优化设计》,4,3.1 约束优化间接法的基本思想和理论,3.1.1 约束优化间接法的基本思想 3.1.2 约束优化间接法的基本理论,《机械优化设计》,5,3.1.1 约束优化间接法的基本思想,将一个约束优化问题转化为一个或一系列无约束优化问题求解,可以充分利用各种成熟有效的无约束优化方法,适用于求解具有不等式约束和等式约束的优化设计问题。,《机械优化设计》,6,3.1.2 约束优化间接法的基本理论,1. 等式约束优化问题 min f(x) s.t. hj(x)=0 j=1、2、……q 关于这个问题的求解实际上我们在《高等数学》的学习中已经接触过,那就是求条件极值的拉格朗日乘子法,具体方法是: 构造拉格朗日函数(其中λ称为拉格朗日乘子) 分别对x、λ求偏导,并令其偏导函数为0(求驻点),解得x*、λ*,《机械优化设计》,7,这样解出的x*就可能是原问题的极值点(最优解),至于如何确定它是否为极值点,可根据实际问题本身的性质来确定,但是,《高等数学》中没有对此作出证明。 现在,我们在此基础上继续研究:原等式约束优化问题(原问题)与拉格朗日函数求驻点问题(拉格朗日问题)之间、原问题的极值点与拉格朗日函数的驻点之间有什么内在联系?,《机械优化设计》,8,定理3.1:拉格朗日定理(等式约束优化问题最优性必要条件): 设 (1) x*是原问题的局部最优点 (2) f(x)、hj (x)在 x* 的某个邻域内连续可微 (3) ▽hj(x*) 线性无关 那么,存在实数λj*,使得,《机械优化设计》,9,对于拉格朗日函数 , 其梯度为 其中: 拉格朗日函数的驻点x*和λ*满足 因此,拉格朗日函数的驻点就可能是原问题的最优解。,原问题的最优性必要条件,表明x* 满足原问题的所有约束,,,《机械优化设计》,10,定理3.2:(最优性充分条件) 设 (1) f(x)、hj (x) 是二阶连续可微函数 (2) x*、λ*是相应的拉格朗日函数驻点 (3) 对任意非0、且满足vT▽hj(x*)=0 j=1、2、……q 的向量v,下式成立: vT ▽x2 L(x*,λ*) v 0 那么,x*是原问题的严格局部极小点。 这个定理的几何意义是: 在拉格朗日函数的驻点处,如果拉格朗日函数的Hesse阵在约束曲面的切平面上正定(并不需要在整个设计空间正定),那么x*就是原问题的严格局部极小点。,《机械优化设计》,11,2. 不等式和等式约束优化问题,现在我们将上述关于等式约束优化问题的理论推广到不等式约束优化问题,考虑: min f(x) s.t. gi(x)≤0 i=1、2、……m 引入松弛变量zi i=1、2、……m,将不等式约束转化为等式约束,即: gi(x)+ zi2=0 于是原问题改写成 min f(x) s.t. gi(x)+ zi2=0 i=1、2、……m 构造拉格朗日函数 L(x, z,λ)= f(x)+Σλi [gi(x)+ zi2] 求其驻点 ▽xL(x, z,λ) = ▽x f(x)+Σλi▽x gi(x)=0 (3-3) ▽zL(x, z,λ) =2λzi =0 (3-4) ▽λiL(x, z,λ)= gi(x)+ zi2=0 (3-5),《机械优化设计》,12,使得(3-4)式成立的情况有三种,《机械优化设计》,13,讨论引入松弛变量后约束函数的梯度向量线性无关性,因为约束函数的梯度向量线性无关是运用拉格朗日定理的重要前提条件,所以有必要讨论引入松弛变量后约束函数的梯度向量线性无关性: 由于引入松弛变量,改写后的约束函数是x、zi的函数,记为 hi(x,zi)= gi(x)+ zi2=0 其梯度向量 以矩阵形式列出: 该矩阵为m行、n+m列 (m n n+m),根据矩阵理论,如果各行前n个元素组成的向量线性无关,则原行向量也线性无关,即:如果▽gi(x) 线性无关,那么▽hi(x,zi)也线性无关。,《机械优化设计》,14,不等式约束优化问题的最优性必要条件,因此,在拉格朗日定理的前提条件下: ① x*是原问题的局部最优点 ② f(x)、gi(x)在x*的某个邻域内连续可微 ③ ▽gi(x*) 线性无关 i=1、2、……m 那么,存在实数λj*,使得 这是不等式约束优化问题的最优性必要条件。,《机械优化设计》,15,与K—T条件相比,上述必要条件所要求的前提条件比K—T条件苛刻得多(主要是关于▽gi(x*) 的线性无关性),它是早期人们在研究了等式约束问题后试图将研究结果推广到不等式约束问题而提出的,据此也曾编制过求解不等式约束问题的拉格朗日乘子法程序,但效果不好,其原因就在于关于▽gi(x*) 线性无关性的要求在实际应用中常常不能得到满足,所以在20世纪50年代初K—T条件问世后,处理不等式约束问题都是以K—T条件作为理论基础。,《机械优化设计》,16,等式和不等式约束问题的最优性充分条件,《机械优化设计》,17,3.2 罚函数法,3.2.1 外点罚函数法 3.2.2 内点罚函数法 3.2.3 混合罚函数法,罚函数法(Sequential Unconstrained Minimization Technique,简称SUMT法),顾名思义是将有约束优化问题化为一系列无约束优化问题来求解。它分为外点罚函数法和内点罚函数法,前者适用于等式约束问题,后者适用于不等式约束问题,对于既有等式约束又有不等式约束的问题,则将两者联合起来使用,称为混合罚函数法。,《机械优化设计》,18,3.2.1 外点罚函数法,1. 外点罚函数的构造 外点罚函数法(外点法)用于处理等式约束问题 min f(x) s.t. hj(x)≤0 j=1、2、q 通过上节的讨论,我们很容易想到把它化为求拉格朗日函数的驻点问题求界,即构造 再求其驻点x*、λ* 我们要求的格朗日函数的驻点既不是极大点也不是极小点,而是鞍点,即 L(x* ,λ)≤L(x* ,λ*)≤L(x,λ*) 对λ来说,是λ*极大点;对x来说,x*是极小点(见图3-1),这就不能用现有的求极小(或极大)的无约束优化方法来求解。,《机械优化设计》,19,对原问题构造一个泛函: 其中M是一个充分大的正数,显然有 下面的几个定理表明:对T(x,M)进行无约束优化,可以得到原问题的最优解。,《机械优化设计》,20,定理3.3:,《机械优化设计》,21,定理3.4:,《机械优化设计》,22,定理3.5:,《机械优化设计》,23,基于上述三个定理,可以对外点罚函数法作如下全面描述: 对等式约束优化问题 min f(x) s.t. hj(x)=0 j=1、2、……q 构造罚函数 T(x,Mk)=f(x)+ 其中: 称为惩罚项;Mk称为罚因子,满足 0 1),构造新的罚函数T(x,Mk+1)进行下一轮无约束优化,如此迭代下去,xk*将无限逼近原问题最优解。,《机械优化设计》,24,外点罚函数法也可用于不等式约束问题,对 min f(x) s.t. gi(x)≤0 i=1、2、……m 定义这样一种等式约束: hi(x)=max{0,gi(x)} 它与gi(x)的关系是: 当gi(x)≤0满足约束时,hi(x)=0也满足约束; 当gi(x)0不满足约束时,hi(x)0也不满足约束。 于是原问题可改写为 min f(x) s.t. max{0,gi(x)}=0 i=1、2、……m 其相应的外点罚函数法惩罚项为 Mk Σ[max{0,gi(x)}]2,《机械优化设计》,25,图3-2 外点罚函数法框图,《机械优化设计》,26,外点罚函数法具有以下特点:,① 对初始点没有要求,可以是可行点,也可以是非可行点,这一特点使它十分适合等式约束问题; ② 外点法的搜索过程一般总在可行域外进行(这是外点法名称的由来),其优化结果有两种可能,严格地说,大多数情况下只能得到一个接近可行域接近原问题最优解的非可行解。 随着Mk的增大,使得T(x,Mk)的数学性态恶化,给运用无约束优化方法进行优化带来困难。,《机械优化设计》,27,3.2.2 内点罚函数法,外点罚函数法从可行域外逼近边界,一般情况下最后得到的是一个接近原问题最优解的非可行解,所以它适用于等式约束问题,不适用于不等式约束问题、特别是对约束要求严格的不等式约束问题。 下面介绍的内点罚函数法(内点法)可以克服这一缺点。内点罚函数法通过构造罚函数,在可行域边界上筑起一道“万里长城”,迫使整个优化过程只能在可行域内进行,优化进程中得到的每一个点都是可行点,直至得到最优解,因此又叫障碍函数法。,《机械优化设计》,28,1. 罚函数的构造,内点罚函数是这样建造的: 当x远离边界时,惩罚项β(x)的数值变化比较平缓, 当x接近约束边界时其数值急剧升高至+∞。 通常用来构造内点罚函数惩罚项的函数形式有: 自然对数函数 β(x)=Σ{-ln[-gi(x)]} 双曲线函数 β(x)=Σ[- ] 其中“-”号有的是为了函数定义域的要求,更重要的是要保证惩罚项非负,否则就成为“奖励项”了。 采用这些形式的罚函数要注意: 它们仅在gi(x)=0的那一点无定义,在可行域外远离约束边界的区域可能仍有定义,且趋于-∞,因此在优化特别是在一维搜索中,要采取措施防止搜索点跳到可行域外去。,《机械优化设计》,29,内点罚函数的罚因子变化规律为 μ1μ2 …… μkμk+1 …… 0, 且 下面的定理表明:如此构造的罚函数可以通过无约束优化得到原问题的最优解。,《机械优化设计》,30,定理3.6:,《机械优化设计》,31,图3-3 内点罚函数法框图,《机械优化设计》,32,内点罚函数法特点,初始点应为可行点,所有迭代点均为可行点。 只能处理不等式约束问题。 也存在数学性态恶化问题。,《机械优化设计》,33,3.2.3 混合罚函数法,《机械优化设计》,34,3.3 增广拉格朗日乘子法,3.3.1 等式约束问题 3.3.2 不等式问题约束问题 3.3.3 应用实例,《机械优化设计》,35,3.3.1 等式约束问题,不论是外点罚函数法还是内点罚函数法,都有一个共同的缺点,就是数学性态会恶化,其原因在于罚因子的无限增大或无限缩小 。 分析一下这样一个外点罚函数: T(x,Mk)=f(x)+ Mk 如果原问题的极小点x*也是T(x,Mk)的极小点,那么必有 因为 x* 总是满足约束的,所以不管Mk怎样取值,上式后面一项总是等于0,那么从上式可推导出▽x f(x*)=0,也就是说,如果原问题的极小点x* 也是T(x,Mk) 的极小点,那么原问题的最优点必须与无约束优化的最优点重合,而这在约束优化中是罕见的,因此也就只能像前一节定理3.5中所证明的那样,当k→∞时,让xk*逼近x*了。,《机械优化设计》,36,如果将上述罚函数中的f(x)换成它相应的拉格朗日函数,构造成所谓增广的拉格朗日函数(或者称之为乘子罚函数),那么情况就不一样了:对其求偏导并令偏导函数等于0: (3-23) (3-24) (3-25) 对于原问题的极小点x*来说,(3-24)、(3-25)式显然成立,(3-23)式中的最后一项为0,从而推导出 这恰恰是由拉格朗日定理确定的最优性必要条件。 有定理可以证明:如此构造的增广拉格朗日函数的极小值,在一定条件下就是原问题的最优解。,《机械优化设计》,37,定理可以证明:如此构造的增广拉格朗日函数的极小值,在一定条件下就是原问题的最优解。 定理3.7: 从上述定理可以看到: 如果适当调整Mk和λk,当有hj(xk*)=0时,xk*就是原问题的最优解。因此,算法的关键是如何确定Mk和λk,而xk*收敛于原问题最优解的判定准则则是hj(xk*)=0。,《机械优化设计》,38,1. 乘子迭代公式,罚因子M的确定和调整仍然和外点罚函数中一样,在需要调整时令Mk+1 =αMk(α1)。 为了修正乘子λ,构造一个递推公式: 在xk点处,将(3-23)式改写成并与原问题的最优性必要条件相比较,可以看出,如果能使 λjk+2Mk hj(xk) 逼近λj*,则能使xk逼近x*。为此构造乘子迭代公式 λj,k+1=λj,k+2Mk hj(xk) 从该式可以看出,当λ收敛也即λj,k+1=λj,k时,hj(xk)=0,根据上述定理,找到原问题的最优解。,《机械优化设计》,39,2. 收敛准则,根据定理可知,hj(xk) j=1、2、…… q是否等于0,是判断能否找到原问题最优解的依据,为此,定义 Ck=max| hj(xk)| 如果Ck ε,则优化结束,《机械优化设计》,40,3. 罚因子、乘子修正策略,罚因子的无限增大或无限缩小是罚函数法数学性态恶化的根本原因,增广拉格朗日乘子法中虽然保留了罚因子,但不到“万不得已”不作罚因子调整,具体策略是: 每进行一轮迭代后检查 是否成立, 如果成立,说明λ正向着λ*收敛,继续进行乘子迭代; 如果不成立,说明λ收敛不快或者不收敛,则进行一次罚因子迭代,迫使它向原问题最优点逼近。,《机械优化设计》,41,3.3.2 不等式约束问题,《机械优化设计》,42,首先设法消去zi。 在上述增广拉氏函数的最优点处,由(3-26)式 4Mzi [gi(x)+ zi2]+ 2λizi = 2zi{2M [gi(x)+ zi2]+ λi}=0 欲使该式成立,只须 zi =0 或2M [gi(x)+ zi2]+ λi =0,即 2M gi(x)+2M zi2+λi =0 也即 综合两种情况,因为zi2不可能是负数,所以 代入增广拉氏函数 当-2M gi(x) -λi≤0 (即zi2=0,第i个约束为起作用约束)时,上式等价于 当-2M gi(x) -λi0 (即zi2≠0,第i个约束为不起作用约束)时,上式等价于,《机械优化设计》,43,综合两种情况,可记为 相应的乘子迭代公式为 λi,k+1=λi,k+2M[gi(x)+ zi2]= λi,k+2Mgi(x)+max{0,-2M gi(x) -λi,j } 当-2M gi(x) -λi≤0 (即zi2=0,第i个约束为起作用约束)时 λi,k+1=λi,k+2Mgi(x) 当-2M gi(x) -λi0 (即zi2≠0,第i个约束为不起作用约束)时 λi,k+1=0 综合二者得 λi,k+1= max{0,λi,k+2Mgi(x)},《机械优化设计》,44,我们将不等式约束问题的增广拉格朗日函数中除去f(x)那一项后的剩余部分记为 相应的乘子迭代公式为 λui,k+1= max{0,λui,k+2Mkgi(xk)} 同样,将等式约束问题的增广拉格朗日函数中除去f(x)那一项后的剩余部分记为 相应的乘子迭代公式为 λej,k+1=λej,k+2Mkhj(xk) 对于既有等式约束又有不等式约束的问题则构造增广拉格朗日函数 L(x,λ,M)= f(x)+ Pu(x)+ Pe(x) 相应的乘子迭代公式为: λu按 λui,k+1= max{0,λui,k+2Mkgi( xk)} 进行修正; λe按 λej,k+1=λej,k+2Mkhj(xk) 进行修正。,《机械优化设计》,45,增广拉格朗日乘子法框图,《机械优化设计》,46,3.3.3 应用实例,运用弹簧—质点模型和最优化技术解决三维曲面(布片)的展开计算问题 从几何角度分析,布绒玩具属于不规则的三维几何体,其表面大多为不可展的三维自由曲面,得到布绒玩具的三维模型后,不仅要将其分成若干相对简单的几何体(开片),而且要在确定省道开设位置后才能将其展开。如何通过计算机软件展开此类带有省道的三维曲面,是本项目研究的重点。,《机械优化设计》,47,1. 弹簧—质点模型,弹簧—质点模型通常被用作布类柔性材料的模拟: 用弹簧构建平面网格,以网格各顶点为质点,并建立系统物理量与几何量之间的对应关系。 考虑到布绒玩具的最终形状与填充物的多少、松紧有很大关系,对布片展开的精度要求不是很高,这里采用一种简化的弹簧质点模型,根据布片的形状特征,仅在布片上一些特征点设置节点,如:直线段与曲线段的交点、曲线段的拐点、两条对称轴线的交点、省道端点等,另外,每段弧线均设置三个特征点,然后按照一定规则用弹簧将这些特征点相互联结形成网格,从而使模型节点数大大减少,计算时间大大缩短。,《机械优化设计》,48,2. 建立优化模型,布绒玩具三维曲面平面展开的过程以及基本要求可以描述为: 在保证展开后的平面面积等于三维曲面面积、平面上各段边界长度等于曲面相应边界长度的前提下,将三维曲面均匀展开成平面。 对于这样一个过程,可以用优化模型来实现: 将各节点位置坐标作为优化设计变量,将展开后的平面面积等于三维曲面面积、平面上各段边界长度等于曲面相应边界长度作为优化约束函数,以整个弹簧—质点系统的弹性势能最小即各弹簧的单位长度变形能极小化为优化目标函数,来保证展开后的平面不发生畸变。,《机械优化设计》,49,《机械优化设计》,50,3. 优化模型中几何约束函数的图像处理,在上述优化问题的迭代求解过程中,每次迭代都要计算展开布片的面积和边界长度等几何参量,以此判断是否满足约束条件,由于展开的布片属于不规则曲边形,其面积和长度的计算不可能用简单的数学公式计算,因此,这里采取在AutoCAD平台上,用其内嵌的Visual Basic for Application语言调用内部函数获取每次迭代的面积和长度值。在运行过程中,它与优化计算交替进行,相互交换数据,直到迭代结束。 对于开设省道的位置根据需要采用两种不同的约束:或者事先确定省道的深度,从而确定省道的端点;或者事先不确定省道的深度,将省道与边界夹角作为优化约束。不管采用哪种约束,凡是开设省道的位置都在曲面模型边界上的同一点设置相互重合的两个节点,它们在展开过程中逐渐分开形成省道。为了防止在优化过程中省道端点的两节点反向移动使展开平面出现重叠部分,在程序编写中又加入了对每个省道夹角为正(以逆时针为正方向,反之为负)的约束,保证了展开图形的正确性。,《机械优化设计》,51,曲面展开程序的具体流程,《机械优化设计》,52,(a) 前额 (b) 嘴 图3-6 “外星人”布绒玩具泥塑模型 (c) 后脑 (d) 侧脑 图3-7 “外星人”头部各分片曲面展开图 图3-8 “外星人”头部实物,,,,《机械优化设计》,53,3.4 约束变尺度法,约束变尺度法是一种改进的变尺度法,它由无约束最优化方法中的变尺度法推广而来。 变尺度法是当今求解无约束优化问题的最完善的方法。它是针对目标函数为正定二次函数的基础上研制出来的,以后又进一步推广到非二次函数的优化问题。这一推广是以非二次函数的二阶泰勒展开为主要工具的,它不用计算[H(xk)]-1,而是通过xk和▽f(xk)构造一个Hk逐步逼近[H(xk)]-1,并在逼近过程中始终保持正定,从而保证了每一步搜索方向都是下降方向,因此,数值稳定性较好。此外,它还有较快的收敛速度,较宽的适用范围等特点。 主要步骤是如何确定搜索方向,如何进行一维搜索等等。 无需计算[H(xk)]-1,而是通过xk和▽f(xk)来构造一个正定的Hk逐步逼近[H(xk)]-1,因此,也要在迭代过程中不断修正Hk。 引进了监控技术(Watchdog技术),改进了一维搜索策略,使得最坏的初始点也能较快速地向最优点逼近,具有良好的整体收敛性,并使函数的梯度调用次数降低到最低程度,从而减少了目标函数、约束函数的求值次数; 引进了松驰搜索准则,约束变尺度法克服了在边界点处的低效率。使用约束变尺度法进行优化设计,解题可靠性高,既能克服死循环和不收敛现象,又能消除二次规划中出现的退化解,具有很强的适应能力。,《机械优化设计》,54,3.4.1 用序列二次规划寻找Pk,对于原问题 min f(x) (3-29) s.t. i=1,2,3……,m hj(x)=0 j=1,2,3……,q 式中f(x)为目标函数, gi(x)为不等式约束函数,hj(x)为等式约束函数。假设f(x)、gi(x) 、hj(x)二阶连续可导,极小点xk存在。其拉氏函数为:(3-30) 将(3-30)在xk处二阶泰勒展开,有:(3-31) 整理得:(3-32),《机械优化设计》,55,记: 、 则上式为:(3-33) 在对L(x, λ)作了上述变形后,我们可以将其变成为这样一个约束优化问题,即目标函数为: (3-34)略去常数项后得 (3-35) 约束条件为: (3-36),《机械优化设计》,56,因为这一约束优化问题的拉格朗日函数与式(3-33)完全一样,这样,就将原问题(3-29)转换为一个二次规划子问题,该二次规划子问题可以表示如下:(3-37) 其中: ▽f——原目标函数的梯度向量 ▽gi——原不等式约束函数的梯度矩阵(Jacob矩阵) ▽hj——原等式约束函数的梯度矩阵(Jacob矩阵) Bk——Lagrange函数(4-16)的二阶导数矩阵的一个适当近似矩阵,又称为尺度矩阵 Pk=x-xk——设计变量x的改变量。,《机械优化设计》,57,在这里: (1) x-xk实质上是一个矢量,其方向是由xk指向x(以二维矢量为例) 因此,我们用Pk=x-xk来表示它; (2) H(xk)用一个尺度矩阵Bk来代替; (3) 略去上述展开式中的常数项f(xk) (因为对于优化目标函数来说,常数项不影响优化结果)。 这一转化过程如图3-10所示: 这样一个目标函数为二次函数、而约束函数为一次函数的优化问题称作二次规划问题。对二次规划这一特殊形式的优化问题,有许多成熟的求解方法,如梯度投影法、线性规划法、线性最小二乘法等。目前,我们拥有的约束变尺度法程序中用的是梯度投影法,通过求解这个二次规划解,可以得到下一次的搜索方向Pk,同时得到最优拉格朗日乘子λik、λjk。,图3-10 二次规划问题的转化过程,《机械优化设计》,58,式(4-23)是一个二次规划问题,为了方便推导,将其改写为:(3-38) 其中: x=Pk 列向量 n×1 A=Hk 矩阵 n×n B=f(xk) 列向量 n×1 C是由、组成的矩阵(m+q)×n D是由、组成的列向量(m+q)×1 V≥0是松弛变量Zi2组成的列向量(m+q)×1,对于等式约束hj(x)它恒等于0。 对于这样的约束优化问题,其x*处的K—T条件为: 其中 为 列向量。,《机械优化设计》,59,《机械优化设计》,60,,《机械优化设计》,61,《机械优化设计》,62,3.4.2 一维搜索中的监控(Watchdog)技术,约束变尺度法采取与可行方向法不同的一维搜索策略,构造下面一种罚函数作为一维搜索目标函数: 这样就可以在一维搜索中既考虑到下降性的问题,又同时考虑到可行性的问题。 但是这种罚函数中的μi和μj不象外点、内点罚函数中的罚因子那样无限增大或减小,因而被称为精确罚函数。,《机械优化设计》,63,《机械优化设计》,64,《机械优化设计》,65,《机械优化设计》,66,《机械优化设计》,67,3.4.3 尺度矩阵的修正,《机械优化设计》,68,约束变尺度法框图,《机械优化设计》,69,约束变尺度法具有收敛快、可靠性高、适用性广等优点,它的一个明显优点是:在优化过程中计算目标函数、约束函数的次数很少,有人曾以三个典型的数学考题对罚函数法、乘子法和约束变尺度法优化过程中计算目标函数、约束函数的次数进行比较,结果是: 由于在实际的工程优化中,目标函数、约束函数的计算要耗费大量时间,因此,约束变尺度法的这一特点对于提高优化效率具有实用价值。,《机械优化设计》,70,思考与练习,
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