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合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第03章.ppt

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合肥工业大学研究生精品教材《机械优化设计》_第03章.ppt
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《机械优化设计》,合肥工业大学 吕新生 张晔 2009.12,《机械优化设计》,2,本书目录,第1章 概述,第2章 约束优化设计的直接法,第3章 约束优化设计的间接法,第4章 混合离散变量的优化设计方法,第5章 多目标优化设计方法,第6章 复杂系统优化的分解—协调法,第7章 其它优化设计方法,《机械优化设计》,3,第3章 约束优化设计的间接法,3.1 约束优化间接法的基本思想和理论 3.1.1 约束优化间接法的基本思想 3.1.2 约束优化间接法的基本理论 3.2 罚函数法 3.2.1 外点罚函数法 3.2.2 内点罚函数法 3.2.3 混合罚函数法 3.3 增广拉格朗日乘子法 3.3.1 等式约束问题 3.3.2 不等式问题约束问题 3.3.3 应用实例 3.4 约束变尺度法 3.4.1 用序列二次规划寻找Pk 3.4.2 一维搜索中的监控(Watchdog)技术 3.4.3 尺度矩阵的修正 3.4.4 框图 思考与练习,《机械优化设计》,4,3.1 约束优化间接法的基本思想和理论,3.1.1 约束优化间接法的基本思想 3.1.2 约束优化间接法的基本理论,《机械优化设计》,5,3.1.1 约束优化间接法的基本思想,将一个约束优化问题转化为一个或一系列无约束优化问题求解,可以充分利用各种成熟有效的无约束优化方法,适用于求解具有不等式约束和等式约束的优化设计问题。,《机械优化设计》,6,3.1.2 约束优化间接法的基本理论,1. 等式约束优化问题 min f(x) s.t. hj(x)=0 j=1、2、……q 关于这个问题的求解实际上我们在《高等数学》的学习中已经接触过,那就是求条件极值的拉格朗日乘子法,具体方法是: 构造拉格朗日函数(其中λ称为拉格朗日乘子) 分别对x、λ求偏导,并令其偏导函数为0(求驻点),解得x*、λ*,《机械优化设计》,7,这样解出的x*就可能是原问题的极值点(最优解),至于如何确定它是否为极值点,可根据实际问题本身的性质来确定,但是,《高等数学》中没有对此作出证明。 现在,我们在此基础上继续研究:原等式约束优化问题(原问题)与拉格朗日函数求驻点问题(拉格朗日问题)之间、原问题的极值点与拉格朗日函数的驻点之间有什么内在联系?,《机械优化设计》,8,定理3.1:拉格朗日定理(等式约束优化问题最优性必要条件): 设 (1) x*是原问题的局部最优点 (2) f(x)、hj (x)在 x* 的某个邻域内连续可微 (3) ▽hj(x*) 线性无关 那么,存在实数λj*,使得,《机械优化设计》,9,对于拉格朗日函数 , 其梯度为 其中: 拉格朗日函数的驻点x*和λ*满足 因此,拉格朗日函数的驻点就可能是原问题的最优解。,原问题的最优性必要条件,表明x* 满足原问题的所有约束,,,《机械优化设计》,10,定理3.2:(最优性充分条件) 设 (1) f(x)、hj (x) 是二阶连续可微函数 (2) x*、λ*是相应的拉格朗日函数驻点 (3) 对任意非0、且满足vT▽hj(x*)=0 j=1、2、……q 的向量v,下式成立: vT ▽x2 L(x*,λ*) v 0 那么,x*是原问题的严格局部极小点。 这个定理的几何意义是: 在拉格朗日函数的驻点处,如果拉格朗日函数的Hesse阵在约束曲面的切平面上正定(并不需要在整个设计空间正定),那么x*就是原问题的严格局部极小点。,《机械优化设计》,11,2. 不等式和等式约束优化问题,现在我们将上述关于等式约束优化问题的理论推广到不等式约束优化问题,考虑: min f(x) s.t. gi(x)≤0 i=1、2、……m 引入松弛变量zi i=1、2、……m,将不等式约束转化为等式约束,即: gi(x)+ zi2=0 于是原问题改写成 min f(x) s.t. gi(x)+ zi2=0 i=1、2、……m 构造拉格朗日函数 L(x, z,λ)= f(x)+Σλi [gi(x)+ zi2] 求其驻点 ▽xL(x, z,λ) = ▽x f(x)+Σλi▽x gi(x)=0 (3-3) ▽zL(x, z,λ) =2λzi =0 (3-4) ▽λiL(x, z,λ)= gi(x)+ zi2=0 (3-5),《机械优化设计》,12,使得(3-4)式成立的情况有三种,《机械优化设计》,13,讨论引入松弛变量后约束函数的梯度向量线性无关性,因为约束函数的梯度向量线性无关是运用拉格朗日定理的重要前提条件,所以有必要讨论引入松弛变量后约束函数的梯度向量线性无关性: 由于引入松弛变量,改写后的约束函数是x、zi的函数,
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