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命题逻辑.ppt

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离散数学,第2课,上节课内容回顾,命题 命题真值 命题符号化 5个联结词,今日目标,命题公式的定义 真值表 命题公式的分类与判别,1.2 命题公式及分类,命题公式 或简称为公式(递归定义) (1)单个命题常项或变项及0,1是命题公式 (即原子公式)。 (2)若A是命题公式,则(ØA)也是命题公式。 (3)若A,B是命题公式,则 (A∧B),(A∨B),(A→B),(A«B)也都是命题公式。 (4)每个命题公式都是有限次使用(1),(2), (3)产生的。,例:,p、(Øp)、(p∧q)、(p∨q)、(p→q) ((p∧q) ∨r) (((p∧q) ∨r) → (p→q))都是命题公式,例:,(pq) ((p∧q) ∨r ((p∧∨r) → (p→q))不是命题公式,如下约定: 不引起歧义的情况下可省略公式中的括号: (ØA)的括号可省略 整个公式最外层括号可省略命题公式中的逻辑连接词的优先级依次为Ø , Ø,∧,∨,→ , « 例: Ø ( p∨q),p→(q→r),公式的层次: 1. 若A是单个命题(常项、变项或真值),则称A是0层公式; 2.若A是n层公式,则ØA是n+1层公式; 3.若A和B分别是n 层和m层公式,则A∧B,A∨B,A→B及A « B是max(n,m)+1层公式。 例:Øp∨q: 2层p∧q∧r:2层Ø(Øp∧q)→(r∨s):4层公式。公式的层次从一个侧面刻画了公式的复杂程度,可用于研究公式的性质及公式的演算。,例:分析下列公式的层次及算出它的真值。其中p、q 的真值为1, r、 s的真值为0(p∨(q → (r ∧ Ø p))) «(q∨ Ø s),(p∨(q → (r ∧ Ø p))) «(q∨ Ø s),(p∨(q → (r ∧ Ø p))) «(q∨ Ø s),,1 1 0 1 1 0,1 1 0 1,1 0 1,1 1,1,(p∨(q → (r ∧ Ø p))) «(q∨ Ø s),,课堂练习 P32 1.6 (2),真值赋值与真值表 一般来讲,命题公式的真值是不确定的,因为含有命题变项,如:公式A=(p∧q)→rp、q、r为命题变项,例:变项p-------真值不确定,p:10计本1班只有51个同学p:2+2=4p: 海口市是湖南省的省会,例:p ∧ q -------真值不确定,p:3能被2整除 q:1+1=3 p真值为0,q真值为0, p ∧ q 是假命题p:海口市是海南省的省会 q: 2+2=4 p真值为1,q真值为1, p ∧ q 是真命题,真值赋值: 设A为一个命题, p1、p2、…、pn为从左到右出现在 A中的所有的命题变项。给p1、p2、…、pn指定一组 真值,称为对A的一个真值赋值(或解释)。成真赋值:使命题公式为真的真值赋值。成假赋值:使命题公式为假的真值赋值。,例:公式A=(p∧q)→r110是A的一个赋值(p=1,q=1,r=0)当p=1,q=1,r=0,A的值为假因此110是A的一个成假赋值111是A 的成真赋值类似的,011、010等是A 的成真赋值,公式A=p ∧ q,p q 0 0 0 1 1 0 1 1,,p ∧ q0001,11是A 的成真赋值,00,01,10均为成假赋值,含n(n0)个命题变元的命题公式,共有2n个赋值,真值表: 用表列出命题公式在每种真值赋值下的真值。,构造真值表的步骤: 找出命题公式中所有命题变项并列出所有可能的赋值 按从里到外的顺序写出公式的每个层次 对应每个赋值,计算命题公式每个层次的值,直到最后计算出命题公式的值,真值表例子:,1. p ∧ Ø q 的真值表:p q0 00 11 01 1,,,真值表例子:,1. p ∧ Ø q 的真值表:p q Ø q0 00 11 01 1,,,真值表例子:,1. p ∧ Ø q 的真值表:p q Ø q0 0 10 1 01 0 11 1 0,,,真值表例子:,1. p ∧ Ø q 的真值表:p q Ø q p ∧ Ø q 0 0 10 1 01 0 11 1 0,,,真值表例子:,1. p ∧ Ø q 的真值表:p q Ø q p ∧ Ø q 0 0 1 00 1 0 01 0 1 11 1 0 0,,,p q r0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
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