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关于正劈锥体的体积.pdf

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关于正劈锥体的体积薛利敏(渭南师范学院数学系,陕西渭南714000)摘要:指出了现行《高等数学》教材中关于正劈锥体体积的错误解法,同时给出了正劈锥体的正确体积。公式:V一(丌一号)r2h.h关键词:正劈锥体;体积;公式中围分类号:017 文献标识码:A 文章编号:1009--5128(2001)05--0025--03Volume of regular coneXUE Li—rain(Department of Mathematics,Weinan Teachers College,714000 Weinan,China)Abstract:The author believes that the formula of regular cone in the present textbooks is not correctThe right one should be V=(丌一4/3)r2h.Key words:regular cone;volume;high mathematicsl 问题求以圆为底,以平行且等于该圆直径的线段为顶,而高度为h的正劈锥体的体积y.文献[1]、[2]、[3]、E4]都用定积分计算了此正劈锥体的体积,其解法如下:解:如图1,取圆心。为原点,则圆的方程是z2+y2 h一,.2,过z轴上点z作垂直于z轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形PQR,此截面的面积为S(z)一h·y=h,/V--X2,故V=h l √r2一z2dx.令z=rcos口,则当z=一r与r时,0分别为,r与0,故:r0V=一h I,.2sin2纪口收稿日期:2001—04一08作者简介:薛利敏(1960一),男。陕西韩城人,渭南师范学院数学系讲师图1万方数据一:!!’ 薛利敏:关于正劈锥体的体积 第16卷—————————————————————————————————————一 :一胪r L竿型硼J 0 厶一i1 w 2^.由此可知正劈锥体体积是底圆面积与高的一半之积.2 矛盾下面我们给出求正劈锥体体积的另外两种解法.解法一:先求,一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角口,如图2,计算这平面截圆柱体所得立体的体积y。.解:取这平面与圆柱体的底面的交线为z轴,底面上过圆心且垂直于z轴的直线为Y轴,图2那么,底圆的方程为:z2+y2=r2,立体中过点z且垂直于z轴的截面是一个直角三角形,它的两条直角边的长度分别为Y及ytga,IP石:叼及石:四tga,因而这直角三角形的面积为如)=丢(r2一妁tg口,从而得立体的体积兀素d可1一矿1/r2一z2“,,tg口dz故y,一L丢(r2一∥)tgadx故 y,一I 寺(r2一∥J—r_=三tg口[,.‰一r2 3,‘6‘。L‘~ r2 3。.2了∥qg口·由此司得正劈锥体体积为:y=舻^一2·了2 nr2抓g口=争)::Or-4)r2h≠昙丌,.。^.解法二:(用二重积分计算矿)由对称性,如图3,正劈锥体体积:y=4h II(a—ly)dxdj,:丌rz^一竺?“Jf70Jf詈O rz。in纪似rQR图3P/ \h图4TS万方数据2001年5期 渭7南师范学院学报.-g。。.’—————————————————————————————————一 .e/“=确一詈如一(,r一号)^≠百1耵2|11.此两种解法都得出正劈锥体的体积为(,r一号)r2|Il,并不等于专,rr2^,由此得出了矛盾.3 结论问题出在什么地方?正劈锥体体积到底等于多少?问题在于截正劈锥体得到的不是图1中的等腰三角形PQR,而是如图4.图4是图1过z轴上点z作垂直于z轴的平面,截正劈锥体所得的截面.此截面的面积S。为:S(z)一矩形QRST的面积+三角形PQT的面积=2y(^一争√碍)+专·2y争“写(三角形PQT的高正好等于图2中直角三角形的高:ytg口=石:叼·云)故正劈锥体的体积:y=2』r[2 v/r“r--x2(h一争厢)+争(,.z—zz)]如:4hi’~/7r习dz一2鱼r(r2一z2)dzo 0 ,.J 0=舻^一号,rr2Jll=(,r一了4),.2^.综上所述,正劈锥体的体积应是(,r一百4)一^,而不是丢,r,.2^.参考文献:[1]樊映川.高等数学讲义:上册[M].北京t高等教育出版社,1993.412.[2]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学:第一册(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2000.341.[3]同济大学数学教研室.高等数学(上)[M].北京:人民教育出版社,2000.[4]李树仁.经济数学[M].西安:陕西科学技术出版社,1995.213.[责任编辑牛怀岗]万方数据关于正劈锥体的体积作者: 薛利敏作者单位: 渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000刊名: 渭南师
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