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直线与方程(经典例题).doc

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共 6 页 第 1 页直线与方程知识点复习:一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义: x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180°(2)直线的斜率①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank当 时, ; 当 时, ; 当 时, 不存90,18,90k90k在。②过两点的直线的斜率公式: )(212xxyk注意下面四点:(1)当 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;1(2)k 与 P1、 P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3)直线方程①点斜式: 直线斜率 k,且过点)(11xky1,yx注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。②斜截式: ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 bbky③两点式: ( )直线两点 ,1221212,1,2,yx④截矩式: xab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。l(0)ay(0)blxy,ab⑤一般式: ( A, B 不全为 0)CByAx注意: 各式的适用范围 特殊的方程如:○ 1 ○ 2平行于 x 轴的直线: ( b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: ( a 为常数) ; x(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线 ( 是不全为 0 的常数)的直线系:00yx0,( C 为常数)0yBxA(二)过定点的直线系(ⅰ)斜率为 k 的直线系: ,直线过定点 ;00xk0,yx(ⅱ)过两条直线 , 的交点的直线系方:11yxl :22CBAl程为 ( 为参数) ,其中直线 不在直线系中。221BAyxl(6)两直线平行与垂直当 , 时,1:bkl:bkl共 6 页 第 2 页;212121,/bkl1221kl注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点相交0:11CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标即方程组 的一组解。1方程组无解 ; 方程组有无数解 与 重合21/l 1l2(8)两点间距离公式:设 是平面直角坐标系中的两个点,12(,),xy, ( )则 22|()ABx(9)点到直线距离公式:一点 到直线 的距离0,P0:1CByAxl20Cyd(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。典型例题例 1. 已知直线过点 P(-5,-4) ,且与两坐标轴围成三角形面积为 5,求直线 l 的方程。解: 设 直 线 的 截 距 式 方 程 为 :xayb1则 有 5412ab52, 或 ,54直 线 方 程 为 或8010xyxy例 2 已知两点 A(-3,4), B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点.(1)求直线 l 的斜率的取值范围. (2)求直线 l 的倾斜角的取值范围.分析:如图 1,为使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB 的倾斜角与直线 PA 的倾斜角之间,所以,当 l 的倾斜角小于 90°时,有 ;当 l 的倾斜角PBk大于 90°时,则有 .PAk解:如图 1,有分析知=-1, PAk23)(4=3.PB)(∴ (1) 或 .k3(2)arctan3 .4说明:容易错误地写成-1 k 3,原因是或误以为正切函数在 上单调递增.,0O图 1AyxP共 6 页 第 3 页例 3 若三点 , , 共线,求 的值.A)3,2(B)2,(C),1(m分析:若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在.解答:由 、 、 三点共线,则 .CABk∴ ,解得 .213m21说明:由三点共线求其中参数 的方法很多,如两点间的距离公式,定比分点坐标公式,面积公式等,但用斜率公式求 的方法最简便.例 4. 在 直 线 上 求 一 点 , 使 点 到 两 点 ( , ) , ( , ) 的310120xyP距离相等。分析:(1
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