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矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解.doc

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矢量场 标量场 散度 梯度 旋度的理解.doc
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1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等) 为 w,在与其垂直距离的 dy 处该参数为 w+dw,则称为该物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说,从欧氏空间 Rn 到 R 的函数的梯度是在 Rn 某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形,设函数 z=f(x,y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 P(x,y)∈D,都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的梯度,记作 gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个:(δf/x)*i+(δf/y)*j+( δf/z)*k 记为 grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指:散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度,值为负时为辐合,此时有利于天气系统的的发展和增强,为正时表示辐散,有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分中:设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出,其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数,∑ 是场内一有向曲面,n 是 ∑ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量,则 ∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面 ∑ 向着指定侧的通量,而 δP/ δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度,记作 div A,即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。上述式子中的 δ 为偏微分(partial derivative)符号。3 旋度表示曲线、流体等旋转程度的量4.矢量和标量场假设有一个三维空间,显然空间的每一个点都能用坐标(x, y, z)唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字,那么整个空间就充满了数字。此时,这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场” 。 上述的场叫做标量场,因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)” 。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector),即一个既有大小,又有方向的东西,那么整个空间就变成充满了矢量,这个空间就叫做矢量场。 矢量场中的每一点都对应于一个矢量,而矢量能够根据规则进行各种运算,例如加、减和乘等(数学上没有矢量的除法) 。 显然,我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算,例如同时将它们乘以一个数,或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算,其中散度就是其中一种。 三维空间中的一个矢量可以沿 x、y 和 z 方向分解,现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这 3 个方向分解为大小为 P、Q 和 R 的三个分量,表示为(P,Q,R) 。注意,由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的,所以 P、Q 和 R 的大小在空间的不同的点一般有不同的值,也就是说 P、Q 和 R 中每一个都是 x、y 和 z 的函数。 对三维矢量场来说,我们可以对其中一个点的矢量,假设为(P,Q,R)进行以下操作: 1、求出 dP/dx+dQ/dy+dR/dz 的值,其中 dP/dx 表示求 P 对 x 的一阶偏导数,其余雷同; 2、将这个值赋予这个点 对整个矢量场的每个点均进行以上运算,就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值,于是我们就得出了一个新的标量场,这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence),这种运算就叫做“对矢量场取散度” 。 除了散度运算以外,我们还可以对矢量场进行其它的运算,例如旋度运算(curl)。 跟散度运算不同,旋度运算的结果不是标量场,而是另一个矢量场。而涡度就是一个速度场的旋度,显然涡度是一个矢量场的一个类型。
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