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循环码s.ppt

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循环码和BCH码,,简述,1957年开始研究 循环码的优点: 编码和校正子的计算容易实现 具有固定的代数结构,能找到很多实用的方法来译码,循环码定义,对一个n维码字向量v=(v0,v1,…,vn-1)做一次向右循环移位,得到v(1)=(vn-1,v0,…,vn-2),类似,向右做i次移位,得到v(i)=(vn-i,vn-i+1,…,vn-i-1),等价于向左移位n-i次 循环码:一个(n,k)线性码C,若每个码字的循环移位仍然是C的码字,则称其为循环码 为研究循环码的代数结构,将码字v的分量看做多项式的系数:v(x)=v0+v1X+v2X2+…+vn-1Xn-1 每个码字对应于一个次数等于或小于n-1的多项式 码字和多项式是一一对应的, v(x)叫做码多项式,码多项式,若v的码多项式为v(x)=v0+v1X+v2X2+…+vn-1Xn-1 则v(i)的码多项式为vn-i+vn-i+1X+…+vn-i-1Xn-1 计算xiv(x)-v(i)得到:(1) 也就是说v(i)就是xiv(x)除Xn+1后的余式,循环码的性质,循环码中非零次数最低的多项式是唯一的 证明:(反证法)假设有两个最低次数一样的多项式,这这两个多项式之和的次数更低,而且应该是码多项式(线性,封闭性),矛盾。 循环码中非零次数最低多项式常数项为1 证明: (反证法)假设常数项为0,则码多项式可提取公因子X,另一个因子是次数更低的码多项式(循环左移1次),矛盾。 设g(X)=1+g1X+…+Xr是(n,k)循环码非零次数最低的多项式,次数小于或等于n-1的二进制多项式是码多项式当且仅当它是g(X)的整倍数。,循环码的性质,证明:1)若v(X)是g(X)的整倍数,即v(X)=(1+u1X+.+uiXi)g(X),Xig(X)是g(X)向左循环移位i次的码多项式,故v(X)是码的线性组合;2)设v(X)是码多项式,有v(X)= a(X)g(X)+ b(X), b(X)次数小于g(X), b(X)可以写成b(X)= a(X)g(X)+v(X),故b(X)是码多项式或0,因g(X)是次数最低的非零多项式,故b(X)=0,即v(X)是g(X)的整倍数,循环码的性质,(n,k)循环码有且仅有一个n-k次的码多项式g(X)=1+…+Xn-k,这就是次数最小的码多项式,也称为码的生成多项式,循环码的性质,(n,k)循环码的生成多项式g(X)是Xn+1的一个因子 证明:由公式(1)显然。 若g(X)是次数为n-k,且是Xn+1的一个因子,则g(X)是生成多项式,生成一个(n,k)循环码 证明:略。 性质6说明Xn+1任何一个n-k次多项式都可以生成一个(n,k)循环码,当n很大时,可以构造很多的(n,k)循环码,有好有坏,如何选择?,例子: X7+1,X7+1=(1+ X)(1+X+X3)(1+X2+X3) 故有两个(7,4)循环码,循环码的系统形式,码字前n-k分量为校验位,后k分量是信息位 编码步骤: 用Xn-k乘信息序列u(X) 用生成多项式g(X)除Xn-ku(X),得余式b(X)为校验位 得到码多项式Xn-ku(X)+b(X),循环码的生成矩阵,设g(x)=g0+…+gn-kXn-k,则有生成矩阵如下:若不是系统形式,可通过行变换变成系统形式,校验矩阵H,令h(X)满足, Xn+1=g(X)h(X),则h(X)的k个系数张成矩阵,h(X)称为校验多项式,循环码的对偶码,设码C的生成多项式为g(X),校验多项式为h(X) 其对偶码的生成多项式为Xkh(X-1),也是一个循环码 一个循环码被其校验矩阵唯一确定,例子,(7,4)循环码C,生成多项式g(X)=1+X+X3 其校验多项式为h(X)=Xn+1/g(X)=1+X+X2+X4 码C的对偶码的生成多项式为X4h(X-1)=1+X2+X3+X4,循环码的编码,编码步骤: 用Xn-k乘信息序列u(X) 用生成多项式g(X)除Xn-ku(X),得余式b(X)为校验位 得到码多项式b(X) +Xn-ku(X),循环码的译码,同线性码 计算校正子 求错误模式 纠错或计算码字,查错,令v(X)表示输入码字,e(X)为错误模式,则接受向量r(X)=v(X)+e(X)=a(X)g(X)+e(X),故有:e(X)=a(X)g(X)+b(X)g(X)+s(X)=c(X)g(X)+s(X),即校正子是错误模式除以生成多项式的余式 从接受向量r(X)可以计算校正子s(X),错误模式e是未知的,故需要从s(X)去求e(X)。若e(X)是标准阵的陪集首,则可用查表译码,由校正子获得错误模式。 若e(X)是0,则s(X)=0;若e(X)是码多项式,则e(X)是漏检错误模式。,计算校正子,设接受序列为r(X),则有:r(X)=a(X) g(X)+s(X),
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