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直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案).doc

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直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一 直线与平面平行的判定定理语言叙述 符号表示 图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 Error!⇒a∥ α思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行吗?答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二 平面与平面平行的判定定理语言叙述 符号表示 图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 Error!⇒ α∥β思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面也平行吗?答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一 直线与平面平行的判定定理的应用例 1 如图,空间四边形 ABCD 中,E、F、G 、H 分别是AB、BC、CD、DA 的中点.求证:(1)EH ∥ 平面 BCD;(2)BD∥ 平面 EFGH.证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线,∴EH∥BD .∵EH⊄平面 BCD,BD⊂平面 BCD,∴EH∥平面 BCD.(2)∵BD ∥EH,BD⊄平面 EFGH,EH⊂平面 EFGH,∴BD∥平面 EFGH.跟踪训练 1 在四面体 A-BCD 中,M,N 分别是△ABD 和△BCD 的重心,求证:MN∥平面 ADC.证明 如图所示,连接 BM,BN 并延长,分别交 AD,DC 于 P,Q 两点,连接 PQ.因为 M,N 分别是△ABD 和△BCD 的重心,所以 BM∶MP=BN∶NQ=2∶1.所以 MN∥PQ.又因为 MN⊄平面 ADC,PQ⊂ 平面 ADC,所以 MN∥平面 ADC.题型二 面面平行判定定理的应用例 2 如图所示,在三棱柱 ABC-A 1B1C1 中,点 D,E 分别是 BC 与 B1C1 的中点.求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.证明 由棱柱性质知,B1C1∥BC,B 1C1=BC,又 D,E 分别为 BC,B 1C1 的中点,所以 C1E 綊 DB,则四边形 C1DBE 为平行四边形,因此 EB∥C 1D,又 C1D⊂平面 ADC1,EB⊄平面 ADC1,所以 EB∥平面 ADC1.连接 DE,同理,EB 1 綊 BD,所以四边形 EDBB1 为平行四边形,则 ED 綊 B1B.因为 B1B∥A 1A,B 1B=A 1A(棱柱的性质 ),所以 ED 綊 A1A,则四边形 EDAA1 为平行四边形,所以 A1E∥AD,又 A1E⊄平面 ADC1,AD⊂平面 ADC1,所以 A1E∥平面 ADC1.由 A1E∥平面 ADC1,EB ∥平面 ADC1,A1E⊂平面 A1EB,EB⊂平面 A1EB,且 A1E∩EB=E,所以平面 A1EB∥平面 ADC1.跟踪训练 2 已知 ABCD-A 1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,点 G 在 BB1 上,且 AE=FC 1=B 1G=1,H 是 B1C1 的中点.求证:(1)E,B,F,D 1 四点共面;(2)平面 A1GH∥平面 BED1F.证明 (1)∵AE=B 1G=1,∴BG =A 1E=2.又∵BG∥A 1E,∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A 1G∥BE.连接 FG.∵C 1F=B 1G,C 1F∥B 1G,∴四边形 C1FGB1 是平行四边形,∴FG=C 1B1=D 1A1,FG ∥C 1B1∥D 1A1,∴四边形 A1GFD1 是平行四边形,∴A 1G∥D 1F,∴D 1F∥EB.故 E,B,F,D 1 四点共面.(2)∵H 是 B1C1 的中点,∴B 1H= .32又∵B 1G=1,∴ = .B1GB1H 23又 = ,且∠FCB=∠GB 1H=90° ,FCBC 23∴△B 1HG∽△CBF,∴∠B 1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB.又由(1)知,A 1G∥BE,且 HG∩A 1G=G,FB∩BE=B,∴平面 A1GH∥平面 BED1F.题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用例 3 在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是CC1 上的点.问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?请说明理由.解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.理由如下:连接 PQ.∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴PQ∥DC∥AB,PQ =DC =AB,∴
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