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高二数学讲义直线与椭圆的位置关系(绝对精品,原创).doc

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高二数学讲义直线与椭圆的位置关系(绝对精品 原创).doc
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第 1 页 共 25 页高二数学讲义第七讲直线与椭圆的位置关系椭圆性质1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF 1F2 在点 P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .4. 若 在椭圆 上,则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab5. 若 在椭圆 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2,则切点弦 P1P2 的直线方程,2是 .021ab6. 椭圆 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ,则椭圆的焦点xy 12F角形的面积为 .12tanFPS7. 椭圆 (a>b>0)的焦半径公式:2xy, ( , ).其中 e=c/a.1||Me20||ex1)c2(0)F0,)Mxy8. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.9. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A2Q 交于点 M,A 2P和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.10. AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦,M 为 AB 的中点,则 ,21xyab),(0yx 2OMABbka即 。02KAB11. 若 在椭圆 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab12. 若 在椭圆 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0,2 02213. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是220()()1xyab0AxByC.2 2ABx第 2 页 共 25 页一.课内基础练习题一、选择题: 1、已知 F1, F2是定点,| F 1 F2|=8, 动点 M 满足|M F 1|+|M F2|=8,则点 M 的轨迹是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于 、 两点,则 、 与椭圆的另一焦点 构成42yx1AB2F,那么 的周长是( )F2A. B. 2 C. D. 123、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,则椭圆的长轴长是短轴长的 ( )(A) 倍 (B)2 倍 (C) 倍 (D) 32倍4、曲线 19y25x与曲线 1m9y25x2(m3时,为双曲线;当0c3时 ,为椭圆. 18y9:M)2( 2方 程 为此 时 曲 线(3)略.高二 A 数学讲义第七讲( 140210)课后作业答案本试卷共 18 题,时间 45 分钟,满分 100 分)班级: 姓名: 一.填空选择题1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 1AB与 BF 交于 D,且 901BD,则椭圆的焦距与长轴长之比为为( ) A 213 B 215 C 25 D 3[解析] B .  eaccba)( 2152. (广东省四校联合体 2007-2008 学年度联合考试)设 F1、F 2 为椭圆 42x+y2=1 的两焦点,P 在椭圆上,当△F1PF2 面积为 1 时, 21PF的值为( )A、0 B、1 C、2 D、3[解析] A . |21PPFyS, P 的纵坐标为 3,从而 P 的坐标为 )3,62(,21PF0, 3. (广东广雅中学 2008—2009 学年度上学期期中考)椭圆2169xy的一条弦被 (4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 ( )A. 20xy B. 210xy C. 20xy D. 80xy第 21 页 共 25 页[解析] D. 193621yx,2yx,两式相减得: 0)(4212121 xyyx,4,82121, 214. 已知 F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 3:::2121PFFP, 则此椭圆的焦距与长轴长之比为 _________.[解析] 3 [三角形三边的比是 :3]5、已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y 2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,x3则△ABC 的周长是( C )(A)2 (B)6 (C )4 (D)123 36.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 ;解:已知 为所求;2224,31614(,0)bacyxa7、如图,把椭圆 的长轴 分成 等份,过每个分点516xyAB8作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点, 是椭圆的一个焦点,则x1234567,,PPF_______ _________;1234567PFFF38. (广东省汕头市金山中学 2008-2009 学年高三第一次月考) 已知 A、B 分别是椭圆 12byax的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P 2,1()在椭圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,那么siniAC的值为 。[解析](1)∵点 M是线段 B的中点 ∴ O是△ PB的中位线 又 ABO∴ P ∴ 2222,1cabcab解 得 ∴椭圆的标准方程为 2yx=1 (2)∵点 C 在椭圆上,A 、B 是椭圆的两个焦点∴AC+BC=2a= ,AB=2c=2 在△ABC 中,由正弦定理, sinisinACB BAC第 22 页 共 25 页∴ siniABC= 2A 二.简答题1.如图,A、B为两个定点,且 | AB | =2 ,动点M到A的距离为4,线段MB的垂直平分线L 交MA于点P,请3你建立适当的直角坐标系.(1)求点P的轨迹C 的方程;(2)设直线x-y+1=0与曲线C交于E、F两点,O为坐标原点,试求△OEF的面积.答案:(1)以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系;则A(- ,0),3B( ,0),∵| AP | + | PB | = | PA | + | PM | =4>2 ,3 3∴P点的轨迹为以A,B 为焦点,长轴长为4的椭圆(4分)∴2a=4,2c=2 ,∴a=2,c= ,b=1,3∴P点的轨迹方程为 +y2=1.(6分)4x(2)设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2) 0)(402得由即5y 2-2y-3=0.解得y 1=- ,y 2=1,53设直线x-y+1=0与x轴的交点为P(-1 ,0)∴S △OEF =S△OPE +S△OPF = | OP | | y1 | + | OP | · | y2 |= | OP | ·(| y 1 | + | y2 |)= ×1× .215482、椭圆 C: 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且21(0)xyab(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交12124,|,|.3PFPF椭圆 C 于 两点,且 A、 B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程 .解:(Ⅰ) 因为点 P 在椭圆 C 上,所以 ,a=3;621PFa第 23 页 共 25 页在 Rt△ PF1F2 中 故椭圆的半焦距 c= ,从而 b2=a2-c 2=4,所以椭圆 C 的方程为,5212PF5=1;(Ⅱ)设 A, B 的坐标分别为( x1,y1)、(x 2,y2);已知圆的方程为(x+2) 2+(y-1) 2=5,所以圆心 M492yx的坐标为(-2,1);从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得(4+9k 2)x 2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A, B 关于点 M 对称; 所以.94821解得 , 所以直线 l 的方程为 即 8x-9y+25=0.显然,所求直线方程符合题意。k ,1)2(98xy3.在平面直角坐标系 中,已知圆心在第二象限,半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ,椭圆xOy CxO与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 .219xyaC10(1)求圆 的方程;(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点 ,使 到椭圆右焦点 的距离等于线段CQF的长.若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.OFQ解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m,n) 则 解得2nA2m所求的圆的方程为 ; (2) 由已知可得 ; ; 椭圆的方程为 28xy 10a5;右焦点为 F( 4,0) ; 假设存在 Q(x,y),则有 且(x-4) 2+y2=16,解之可2159xy 22()()8xy得 y=3x,从而有点( , )存在。451254.设椭圆 的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点, ,原点 到直线2(0xyab12FA, 21AFO的距离为 .(Ⅰ)证明 ;(Ⅱ)求 使得下述命题成立:设圆 上任意1AF13O2b(0)tb, 2xyt点 处的切线交椭圆于 , 两点,则 .0()Mxy, 1Q12OQ解:(Ⅰ):由题设 及 , ,不妨设点 ,其中 ,由于点 在椭圆上,2AF(0)c, 2()F, ()Acy, 0A有 , ,解得 ,从而得到 ,21cyab21abybya2ba,过点 作 ,垂足为 ,易知 ,故 ;由椭圆定义得O1HAF112FA△ HO∽ △ 21HOFA12Fx第 24 页 共 25 页,又 ,所以 ,12AFa13HOF2213AFa解得 ,而 ,得 ,即 .(Ⅱ)解法一:圆 上的任意点22bA2ab22xyt处的切线方程为 .当 时,圆 上的任意点都在椭圆内,故此圆0()Mxy, 20xyt(0), 22t在点 处的切线必交椭圆于两个不同的点 和 ,因此点 , 的坐标是方程组A1Q21()xy, 2()Qxy,的解.当 时,由①式得 代入②式,得 ,202xytb ①② 0y20t220txby即 ,于是 ,2242000()txtb2014txxy42012tbx22011ttyyA4220101201()tx 4242200020ttyty   .若 ,则 .420tbx12OQ4424220012203()tbytxtbxyx所以, .由 ,得 .在区间 内此方程的解4203()ty0xt423tt(),为 .6tb当 时,必有 ,同理求得在区间 内的解为 .另一方面,当 时,可推出0y0x(0)b, 63tb63tb,从而 .综上所述, 使得所述命题成立.12x12OQ(0)t,5.设 F1、F 2 分别是曲线 的左、右焦点.(Ⅰ)若 P 是第一象限内该曲线上的一点,24xy,求点 P 的作标;(Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于同的两点125PA、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为作标原点) ,求直线 的斜率 的取值范围.lk(Ⅰ)易知 , , .∴ , .设 .则ab3c1(,0)F2(3,)(,)Pxy0,),又 ,212 5(3,)(,)4PFxyxy 21第 25 页 共 25 页联立 ,解得 , .2741xy21342xy3(,)P(Ⅱ)显然 不满足题设条件.可设 的方程为 ,设 , .0xlkx1(,)Axy2(,)B联立 ∴222214()(14)6204ykxkx 1224k1264kx由 ; , ,得 .①22(6)()0k223(4)k23023又 为锐角 ,∴AOBcos0AOB12OABxy又 ∴21212112()()ykxkxx12()42226(1)()41kk22()641kk2()01k∴ .②综①②可知 ,∴ 的取值范围是 .22343(,)(,)2
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