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高一数学必修1第一章集合全章教案.doc

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第 1 页第一章 集合与函数概念§1.. 1 集合集合教学目标: (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;(2)知道常用数集及其专用记号;(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;(4)会用集合语言表示有关数学对象;教学重点.难点重点:集合的含义与表示方法.难点:表示法的恰当选择.1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示(一)集合的有关概念:⒈定义:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集) ,构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员) 。2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母 A,B,C…表示,而元素用小写的拉丁字母 a,b,c…表示。3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 两种)⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a A;⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a A。5.常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集) ,记作 N;正整数集,记作 N*或 N+;N 内排除 0 的集.整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;6.关于集合的元素的特征⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如:“地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) 。 “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的.第 2 页⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1) 2=0 的解集表示为 1,-2 ,而不是 1,1,-2⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:3 大于 3 小于 11 的偶数; ⑵我国的小河流;⑶非负奇数; ⑷某校 2011 级新生; ⑸ 血压很高的人;7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 ”两种)⑴若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a A;⑵若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a A。例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A ,4 A,等等。练:A={2,4,8,16},则 4 A,8 A,32 A.8.空集:是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子,而空集的袋子是空的,但袋子本身确实是存在的。用符号 Ø 或者{ }表示。注意:{Ø}是有一个 Ø 元素的集合,而不是空集。举例当两圆相离时,它们的公共点所组成的集合就是空集;当一元二次方程的根的判别式值△2},{(x,y)|y=x 2+1} ()xAp说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数} ,即代表整数集 Z。辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。写法{实数集} ,{R}也是错误的。例 2.用描述法表示下列集合:(1)由适合 x2-x-20 的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程 的所有实数根组成的集合20(4)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。练: 1.用适当的方法表示集合:大于 0 的所有奇数2.集合 A={x| ∈Z,x∈N},则它的元素是 。43x3.判断下列两组集合是否相等?(1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; (2)A={自然数 }与 B={正整数}课后作业:§1.2.1 集合间的基本关系集合间的基本关系教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集;1.2.1集合间的基本关系 ⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A()或当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A⊈B(或 B⊉A)B A 表示: B第 5 页用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:2.真子集定义:若集合 ,但存在元素 ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 AB,xB且记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A)3.集合相等 定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 ,则 。且 如:A={x|x=2m+1,m Z},B={x|x=2n-1,n Z},此时有 A=B。4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: 用适当的符号填空:; 0 ; { }; { }05.几个重要的结论:⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 A。⑵空集是任何非空集合的真子集;⑶任何一个集合是它本身的子集;⑷对于集合 A,B,C,如果 ,且 ,那么 。ABC练习 ⑴2 N; N; A; {2}⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C ={x|x0,对于一切属于区间 X 上的 x,恒有|f(x)|≤M,则称f(x)在区间 X 上有界,否则称 f(x)在区间上无界。2.单调性设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D 包含于 I。如果对于区间 D 上任意两点 x1及 x2,当 x1f(x2),则称函数 f(x)在区间 D 上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数 。设 那么2121,xbax上是增函数;1212()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212()()xffxfff ,)()(21在(2)设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果 ,则fy0xfxf 0)(xf为减函数.)(xf注:如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数;如果函数)(xfg )(xgf和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.)(ufy ][y3.奇偶性对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= - f(x),则 f(x)为奇函数。几何上,一个奇函数关于原点对称,亦即其图像在绕原点做 180 度旋转后不会改变。奇函数的例子有 x、sin(x)、sinh(x)和 erf(x)。对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),则 f(x)为偶函数。几何上,一个偶函数关于 y 轴对称,亦即其图在对 y 轴映射后不会改变。偶函数的例子有| x|、 x2、cos( x)和 cosh(x)。函数奇偶性的判定(定义域对称)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.注:若函数 是偶函数,则 ;若函数 是偶函数,则)(xfy)()(axfxf)(axfy第 14 页.)()(axfxf注:对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数fyRx)()(xbfaf)(xf;两个函数 与 的图象关于直线 对称.2bax)y2ba注:若 ,则函数 的图象关于点 对称;若 ,则函数()(axff)(xf )0,( )()(axff为周期为 的周期函数.xy4.周期性设函数 f(x)的定义域为 D。如果存在一个正数 T,使得对于任一 有 ,且 f(x+T)=f(x)恒成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为 f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间,若 D 为有界的,则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期,例如狄利克雷函数。周期函数有以下性质:(1)若 T(T≠0)是 f(x)的周期,则-T 也是 f(x)的周期。(2)若 T(T≠0)是 f(x)的周期,则 nT(n 为任意非零整数)也是 f(x)的周期。(3)若 T1 与 T2 都是 f(x)的周期,则 也是 f(x)的周期。(4)若 f(x)有最小正周期 T*,那么 f(x)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。(5)T*是 f(x)的最小正周期,且 T1、T2 分别是 f(x)的两个周期,则 T1/T2∈Q(Q 是有理数集)(6)若 T1、T2 是 f(x)的两个周期,且 T1/T2 是无理数,则 f(x)不存在最小正周期。(7)周期函数 f(x)的定义域 M 必定是双方无界的集合 。几个函数方程的周期(约定 a0)(1) ,则 的周期 T=a;)()axf)(xf(2) ,或 ,或 ,0f )0()1xfaf 1()(fxaf)0x或 ,则 的周期 T=2a;21()(),(0fxfxff(3) ,则 的周期 T=3a;)(1faff )xf(4) 且 ,则 的周期)()(2121xfxf1212((),0||)fafxa)(xf第 15 页T=4a;(5) ()(2)3(4)fxafxfafx,则 的周期 T=5a;(6) ,则 的周期 T=6a.)()(xfxf)(xf5.函数 的图象的对称性y(1)函数 的图象关于直线 对称 .()fxxa()()fxfa(2)(faxf(2)函数 的图象关于直线 对称y2bmb.()()fabmxf两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yf()yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.xabm2abm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.)(fy)(1xf(4)若将函数 的图象右移 、上移 个单位,得到函数 的图象;若将曲a baxfy)(线 的图象右移 、上移 个单位,得到曲线 的图象.0),(yxfab0),(baxf例 1. 判断下列函数的奇偶性① ; ② ;③ ; ④ 。例 2.(2002 天津文.16)设函数 f( x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:① y=-| f( x)|;② y=xf( x2);③ y=- f(- x);④ y=f( x)- f(- x)。必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号)答案:②④;解析: y=(- x) f[(- x) 2]=- xf( x2)=- y; y=f(- x)- f( x)=- y。第 16 页例 3.已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2- x),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时 f(x)的表达式。解:由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑:①若 x∈[-2,0],- x∈[0,2],∵ f(x)为偶函数,∴当 x∈[-2,0]时, f(x)= f(- x)=-2 x-1,②若 x∈[-4,-2 ,∴4+ x∈[0,2 ,∵ f(2+x)+ f(2- x),∴ f(x)= f(4- x),∴ f(x)= f(- x)= f[4-(- x)]= f(4+x)=2( x+4)-1=2 x+7;综上,点评:结合函数的数字特征,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式。例 4.已知函数 ,且 , ,试问,是否存在实数,使得 在 上为减函数,并且在 上为增函数.解: .有题设当 时,, ,则 当 时,, ,则 故 .第 17 页课后作业:
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