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高等代数(张禾瑞版)教案-第5章矩阵.doc

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第五章 矩 阵教学目的:1. 掌握矩阵的加法,乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质,并熟练地对矩阵进行运算。2. 了解几种特殊矩阵的性质。教学内容:5.1 矩阵的运算1 矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令 F 是一个数域。用 F 的元素 aij 作成的一个 m 行 n 列矩阵A= amnmn  212112叫做 F 上一个矩阵。A 也简记作(a ij)。为了指明 A 的行数和列数,有时也把它记作 Amn 或(a ij ) mn。一个 m 行 n 列矩阵简称为一个 m*n 矩阵。特别,把一个 n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵,或 n 阶矩阵。F 上两个矩阵,只有在它们有相同的行数和列数,并且对应位置上的 元素都相等时,才认为上相等的。以下提到矩阵时,都指的是数域 F 上的矩阵。我们将引进三种运算:数与矩阵的乘法,矩阵的加法以及矩阵的乘法。先引入前两种运算。2 矩阵的线性运算定义 1 数域 F 的数 a 与 F 上一个 m*n 矩阵 A=(aij) 的乘法 aA 指的是 m*n 矩阵(aa ij) 定义 2 两个 m*n 矩阵 A=(aij),B=(b ij) 的和 A+B 指的是 m*n 矩阵(a ij+bij)。注意 ,我们只能把行数相同,列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵,记作 0。如果矩阵 A=(aij ),我们就把矩阵(- a ij),叫做 A 的负矩阵,记作—A。3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-A)=0;a(A+B)=Aa+Ab;(a+b)A=Aa+Ba ;a(bA)=(ab)A ;这里 A,B 和 C 表示任意 m*n 矩阵,而 a 和 b 表示 F 中的任意数。利用负矩阵,我们如下定义矩阵的减法:A—B=A+(—B)。于是有A+B=C A=C—B。由于数列是矩阵的特例,以上运算规律对于数列也成立。4 乘法定义 3 数域 F 上的 m*n 矩阵 A=(aij)与 n*p 矩阵 B=(bij) 的乘积 AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第 I 行第 j 列(I=1,2,…,m; j=1,2, …p) 的元素 cij 等于 A 的第 I 行的元素与 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和:cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj。注意,两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子:0513213=  0)2(1)3()(2)(= .815705 矩阵乘法的运算规律:对于数的乘法成立的运算规律,对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵,例如:.021矩阵的乘法不满足交换律。首先,当 p m 时 A mnBnp 有意义,但 BnpAmn 没有意义。其次,AmnBnp 和 BnmAmn 虽然有意义,但是当 mn 时,头一个乘积是 m 阶矩阵而第二个是 n 阶矩阵,它们不相等。最后,A nnBnn 和 BnnAnn 虽然都是 n 阶矩阵,但它们也未必相等。 例如.5718321.4但是距阵乘法满足结合律:(AB)C=A(BC)事实上,可以假定A=(aij)mn,B=(bij)np, C=(cij)pq,那么(AB)C 和 A(BC)都是 m*n 距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令AB=U=(uij), BC=V=(vij).由距阵乘法知,= , ,uilbaklnki1 cvljplkkj1因此(AB)C=UC 的第 I 行第 j 列的元素是(1) cijknkipljplil )(11.ljklki另一方面, A(BC)=AV 的第 I 行第 j 列的元素是(2) )(11cbavljplknkijnki .ljkkli由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2) 的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数 1 乘任何数 a 仍得 a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数 1 的性质.我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是 1,而其它元素都是 0 的 n 阶正距阵1 0… 00 1… 0…………0 0 1叫做 n 阶单位距阵 ,记作 In,有时简记作 I.In 显然有以下性质:InAnp=Anp; AmnIn=Amn.距阵的乘法和加法满足分配律:A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单,我们留给读者。注意,由于距阵的乘法不满足结合律,所以着两个式子并不能互推。距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律:a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意 r 个距阵 A1,A2,…… Ar,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数,就可以把它们依次相乘,由于距阵的乘法满足结合律,作这样的乘积时,我们可以把因子任意结合,而乘积 A1A2……A r 有完全确定的意义。特别,一个 n 阶正方阵 A 的 r 次方(r 是正整数)有意义个rr我们再约定A0=I这样一来,一个 n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。设f(x)=a0+a1+……+amxm是 F[x]中有确定的意义,它仍然是 F 上的一个 n 阶正方阵,我们将它记作 f(x):f(A)=a0I+a1A+……+amAm.如果 f(x), g(x) F[x],而 A 是一个 n 阶距阵,令u(x)=f(x)+g(A),v(x)=f(x)g(x) 于是有u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5 距阵的转置 定义 4 设 m*n 距阵a11 a12 …… a1nA= a21 a22 …… a2n……………………am1 am2 …… amn把 A 的行变为俩所得到的 n×m 距阵a11 a21 …… am1A’= a12 a22 …… am2…………………a1n a2n …… amn叫 A 的转置距阵的转置规律a) (A’)’=A,b) (A+B)’=A’+B’c) (AB)’=B’A’d) (aA)=aA’我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设A= , B= amnmn  212112 bnpnp  212112首先容易看出,(AB)’和 B’A’都是 pm 矩阵.其次, 位于(AB)’ 的第 i 行第 j 列的元素就是位于AB 的第 j 行第 i 列的元素, 因而等于aj1b1i+aj2b2i+…+ajnbni. 位于 B’A’的第 i 行第 j 列的元素等于 B’的第 i 行的元素与 A’的第 j 列的对应元素的乘积之和, 因而等于 B 的第 i 列的元素与 A 的第 j 行的对应元素的乘积之之和:b1iaj1+b2iaj2+…+bniajn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立等式(4)和(5)显然可以推广到 n 个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立:(A1+A2+…+An)’=A1’+A2’+…+An’ ,(A1A2…An)’=An’An-1’…A2’A1’5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式教学目的:1 掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。2 掌握求逆矩阵的方法,尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。教学内容:1 逆矩阵的定义: 令 A 是数域 F 上的一个 n 阶矩阵。若是存在 F 上 n 阶矩阵 B,使得AB=BA=I,那么 A 叫作一个可逆矩阵(或非奇异矩阵),而 B 叫作 A 的逆矩阵。若是矩阵 A 可逆,那么 A 的逆矩阵由 A 唯一决定。事实上,设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵:AB=BA=I,AC=CA=I。那么B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C。2 逆矩阵的性质:我们以后把一个可逆矩阵 A 的唯一的逆矩阵用 A-1 来表示。我们有以下简单的事实:可逆矩阵 A 的逆矩 A-1 也可逆,并且(A -1) -1=A这由算式AA-1=A-1A=I可以直接推出。两个可逆矩阵 A 和 B 的乘积 AB 也可逆,并且(AB) -1=B-1A-1这是因为(AB)(B -1A-1)=(B -1A-1)(AB)=I一般,m 个可逆矩阵 A1,A 2,…,A m 的乘积 A1A2…Am 也可逆,并且(A 1A2…Am) -1=Am-1 …A2-1A1-1可逆矩阵 A 的转置 A’也可逆,并且(A’) -1=(A -1)’这是因为求等式AA-1=A-1A=I中三个相等的矩阵的转置,得(A -1)’A’=A’(A -1)’=I’=I一个 n 阶矩阵未必可逆。例如,令a11 a12 A= 0 0 而 B 是任意一个 2 阶矩阵。那么乘积 AB 的第二行的元素都是零,因此不存在二阶矩阵 B,使 AB=I,从而 A 不是可逆矩阵。3 初等变换首先注意以下事实:对于一个矩阵施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵:i 列 j 列 1 1 0 … 1 i 行 1 Pij =  1 1 … 0 j 行1 1 i 列 1 1 Di(k) = k i 行 1 1 i 列 j 列 1 1 … k i 行 Tij(k) = 1 j 行 1 这里没有注明的元素在主对角线上的都是 1,在其它位置的都是零。通过验算容易看出:交换一个 m×n 矩阵 A 的第和第 i 和第 j 行或第 i 和第 j 列,相当于把 A 左乘以 m 阶矩阵 Pij 或右乘以 n 阶矩阵 Pij;把 A 的第 i 行或列乘以数 k,相当于把 A 左乘以 m 阶的 Di(k),或右乘以 n阶的 Di(k);把 A 的第 j 行乘以数 k 后加到第 i 行相当于把 A 左乘以 m 阶的 Tij(k),把 A 的第 j 列乘以数 k 后加到第 i 列相当于把 A 右乘以 n 阶的 Tij(-k)初等变换都是可逆的,并且它们的逆矩阵仍是初等变换。因为容易验证:P-1ij=Pij ; Di(k)-1=Di( ), Tij(k)-1=Tij(-k)k1现在容易证明以下引理 5.2.1 设对正方阵 A 施行一个初等变换后,得到矩阵 A,那么 A 可逆的充分且必要条件是 Ā 可逆。证 我们只就行初等变换来证明这个引理,列初等变换的情形可以完全类似地证明。设 Ā 是通过对 A 施行一个行初等变换而得到的。那么存在一个对应的初等矩阵 E,使得(1) Ā=EA由于初等矩阵 E 是可逆的,(1)式说明,当 A 可逆时,Ā 是两个可逆矩阵的乘积。因为 Ā 也可逆。另一方面,用 E 的逆矩阵 E-1 左乘(1)式的两端,得(2) E -1Ā=E-1EA=IA=A因为 E-1 也可逆,由(2)式得,当 Ā 可逆时,A 也可逆。引理 5.2.1 说明,矩阵是否可逆这一性质不因施行初等变换而有所改变。由定理 4.1.2,给了任意一个 m×n 矩阵 A,总可以通过行初等变换和交换两列的初等变换,把 A 化为以下的一个矩阵:1 0 … 0 c1,r+1 … c1n0 1 … 0 c2,r+1 … c2n…………………………… (3) 0 0 … 1 cr,r+1 … crn0…………………………0 …………………………… 0…………………………0 继续对 (3)施行第三种列初等变换,显然可以把 cij 都化为零,因此,我们有定理 5.2.2 一个 m×n 矩阵 A 总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵。= OIrnmr,,这里 Ir 是 r 阶单位矩阵,O st 表示 s×t 的零矩阵、r 等于 A 的秩。 特别,当 A 是一个 n 阶矩阵时,上面的矩阵 Ā 是一个对角矩阵(即主对角线以外的元素都是 0 的矩阵)。根据引理 5.2.1,n 阶矩阵 A 是否可逆,决定于 Ā 是否可逆。然而对角矩阵 Ā 是否可逆很容易看出。当 Ā 等于单位矩阵 I 时,Ā 可逆。因为 I 本身就是 I 的逆矩阵。当 Ā 不等于 I 时,Ā 至少有一个元素全是零的行,因而右乘 Ā 以任意一个 n 阶矩阵 B,所得的乘积 ĀB 中也至少有一个元素 全是零的行,所以 Ā 不可逆。这样,n 阶矩阵 A 可逆,当且仅当它可以通过初等变换化为单位矩阵 I 。4 矩阵可逆的条件:定理 5.2.3 n 阶矩 A 可逆,当且它可以写成初等矩阵的乘积。证 A 可以通过初等变换化为单位矩阵 I,就是说, I 可以通过初等变换化为 A,也就是说,存在初等矩阵 E1,…Es,Es+1,…,Et,使 A=E 1…EsIEs+1…Et=E1…EsEs+1…Et 定理 5.2.4 n 阶矩阵 A 可逆当且仅当 A 的秩等于 n。证 A 可以通过初等变换化为单位矩阵 I。就是说,A 的秩等于 n。 我们把 n 阶矩阵A= annn  212112的唯一的 n 阶子式a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ………………… an1 an2 … ann 叫做矩阵 A 的行列式,记作|A|。我们知道,A 的秩等于 n 的充分且必要条件是|A|≠0。于是由定理 5.2.4 得定理 5.2.5 n 阶矩阵 A 可逆,当且仅当它的行列式|A|≠0我们常需要求出一个可逆矩的逆矩阵来。现在给出两种求逆矩阵的方法。第一种还是要用到初等变换。先说明以下事实:一个 n 阶可逆矩阵 A 可以通过行初等变换化为单位矩阵 I。事实上,根据定理 5.2.4,|A|≠0。因此 A 的第一列至少有一个元素不等于零。我们显然可以通过行初等变换把 A 化为0*11这里 A1 是一个 n-1 阶矩阵。行列式|A1|显然等于矩阵(4)的行列式,而后者与|A|最多差一个不等于零的因子,因此|A1|≠0,从而 A1 的第一列至少有一个元素不等于零。于是通过行初等变换可由(4)得到A20*1这里 A2 是一个 n-2 阶矩阵。这样下去,最后我们得到单位矩阵 I。但对于一个矩阵施行行初等变换相当于以初等矩阵左乘这个矩阵,因此给了一个可逆矩阵A,可以找到一些初等矩 E1,E 2,…,E s,使(5) Es…E2E1A=I用 A-1 右乘这个等式的两端,得(6) Es…E2E1I=A-1比较矩式(5)和(6 )。5 求矩阵的方法:在通过行初等变换把可逆矩阵 A 化为单位矩阵 I 时,对单位矩阵 I 施行同样的初等变换,就得到 A 的逆矩阵 A-1。例 1 求矩阵A= 2013的逆矩阵。我们写下 A,并把单位矩阵 I 写在 A 的右边:, 201310我们施行行初等变换把 A 化为 I。第二种求逆矩阵的方法是从行列式的性质得来的。设 n 阶矩阵A= annn  212112那么以下等式成立:ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn= ji若若,0|a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj = ji若若,|这里 Ast 是行列式|A|中元素 ast 的代数余子式,由此容易看出,若是令= * nnn  12211那么(7) AA*=A*A= |A0||  我们把矩阵 A*叫做矩阵 A 的伴随矩阵。当 A 是可逆矩时,由定理 5.2.5,|A|≠0,因此由(7)得A = A=I |1*|这就是说(8) A -1 = A* |这样,我们得到了一个求逆矩阵的公式。利用这个公式去求逆矩阵,计算量一般很大,公式(8)的意义主要在理论方面。例如,我们可以应用它来给出克莱姆规则的另一种推导法。考虑线性方程组a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1,a21x1+a22x2+ … +a2nxn=b2………………………………an1x1+an2x2+ … +annxn=bn利用矩阵的乘法可以把这个线性方程组写成(9) = , annn  212112xbn21这里(aij)=A 是方程组的系数矩阵。当方程组的行列式|A|≠0 时,系数矩阵 A 可逆,用A 的逆矩阵 A-1 左乘(9)式的两端,那么由(8)式得= xni1| Anniii n    21112b2由此,对 i=1,2,…,n,有=i|niii21b21= (b1A1i+b2A2i+…+bnAni) |这正是克莱姆规则给出的方程组的解。最后我们研究一下矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩。我们将要得出两个有用的结论。先看矩阵乘积的行列式。首先证明引理 5.2.6 一个 n 阶矩 A 总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵= ,dn0021并且|A|=|Ā|=d 1d2…dn证 如果 A 的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零。于是再通过适当的第三种初等变换可以把 A 化为.011如果 A 的第一行和第一列的元素都是零,那么 A 已经具有(10)的形式。对 A1 进行同样的考虑,易见可用第三种初等变换逐步把 A 化为对角矩阵。根据行列式的性质,我们有|A|=|Ā|=d1d2…dn 定理 5.2.7 设 A,B 是任意两个 n 阶矩阵。那么|AB|=|A||B|证 先看一个特殊情形,即 A 是一个对角矩阵的情形。设A = . dn0021令 B=(bij ),容易看出AB = bn121bnnn   21212因此由行列式的性质得|AB|= =|A||B|现在看一般情形,由引理 5.2.6,可以通过第三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵 Ā,并且|A|=|Ā|。矩阵 A 也可以反过来通过对 Ā 施行第三种初等变换而得出。这就是说,存在Tij(k)型 T1,T2,…,Tq,使A= T1  TpĀTp+1  Tq于是 AB=(T 1  TpĀ)(T p+1  TqB)。然而由行列式的性质知道,任意一个 n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而有所改变,换句话说,用一些 Tij(k)型的初等矩阵乘一个 n 阶矩阵不改变这个矩阵的行列式。因此,注意到 Ā 是一个对角矩阵,我们有|AB|= |T1  TpĀTp+1  TqB| = |ĀTp+1  TqB|= |Ā||Tp+1  TqB| = |Ā||B|= |A||B| . 由这个定理显然可以得出,对于 m 个 n 阶矩阵 A1,A 2,…,A m 来说,总有|A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am| 6 关于矩阵乘积的秩定理 5.2.8 两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。特别,当有一个因子是可逆矩阵时,乘积的秩等于另一因子的秩。证 设 A 是一个 m×n 矩阵,B 是一个 n×p 矩阵,并且秩 A=r。由定理 5.2.2,可以对 A 施行初等变换将 A 化为Ā= . 0Ir换句话说 ,存在 m 阶初等矩阵 E1,…,E p 和 n 阶初等矩阵 Ep+1,…,Eq,使 E1…EpAEp+1…Eq= Ā. 于是BABpqpp 111 = , Bq这里 B= ,显然, 除前 r 行外,其余各行的元素都是零,所以秩 ≤r。.1pq A另一方面,E 1…EpAB 是由 AB 通行初等变换而得到的,所以它与 AB 有相同的秩。这样就证明了 秩 AB≤ 秩 A,同理可证秩 AB≤ 秩 B。如果 A,B 中有一个,例如 A 是可逆矩阵。那么一方面,秩 AB≤秩 B;另一方面,由于B=A-1( AB),所以秩 B≤ 秩 AB。因此,秩 AB=秩 B。这个定理也很容易推广到任意 m 个矩阵的乘积的情形。任意 m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。5.3 矩 阵 的 分 块教学目的:1、掌握矩阵运算的分块技巧。教学内容:设 A 是一个矩阵。 我们在它的行或列之间加上一些线,把这个矩阵分成 若干小块。例如 ,设 A 是一个 4*3 矩阵a11 a12 a13a21 a22 a23 A= a31 a32 a33a41 a42 a44我们可以如下地把它分成四块:a11 a12 a13a21 a22 a23A= a31 a32 a33a41 a42 a44 用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵。上面的分块矩阵 A 是由以下四个矩阵组成的:a11 , a12 a13A11= a21 A12= a22 a23a31 , a23 a33A21= a41 A22= a42 a43 我们可以把 A 简单地写成:A= A11 A12A21 A22给了一个矩阵,可以有各种不同的分块方法。例如,我们也可以把上面的矩阵 A 分成两块:a11 a12 a13A= a21 a22 a23a31 a32 a33-------------------a41 a42 a43或者分成六块: a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43等等。没一个分块的方法叫做 A 的一种分法。根据矩阵的加法和数与矩阵的乘法的定义,如果 A ,B 是两个 m*n 的矩阵,并且对于A ,B 都用同样的分法来分块:A11 …………A1q B11…………B1pA= ………………… , B= …………………Ap1…………Apq Bp1…………Bpq而 a 是一个数,那么A11+B11…………A1q+B1qA+B= ………………………………Ap1+Bp1…………Apq+Bpq Aa11…………Aa1qAa= …………………… aAp1…………aApq这就是说,两个同类的矩阵 A ,B ,如果按同一种分法进行分块,那么 A 与 B 相加时,只需要最常用到的是矩阵的分块乘法。为了说明这个方法,先看一个例子。设a11 a12 a13a21 a22 a23 A11 A12 A= a31 a32 a33 = A21 A22 a41 a42 a43 b11 b12 B11B= b21 b22 = ------------ B21 b31 b32分块乘法就是在计算 AB 时,把各个小块看成矩阵的元素,然后按照通常矩阵乘法把它们相乘。用式子写出,就是A11 A12 B11 A11B11+A12B21 C1AB= A21 A22 B21 = A21B11+A22B21 = C2一般地说,设 A=(aij)是一个 m*n 矩阵,B=(bij )是一个 n*p 矩阵。把 A 和 B 如下地分块,使 A 的列的分法和 B 的行的分法一致: n1 n2 … nsA11 A12…A1s m1A21 A22…A2s m2A= ┋ ┋ ┋ ┋Ar1 Ar2… Ars mrP1 P2 …PtB11 B12…B1s n1B21 B22…B2s n2A= ┋ ┋ ┋ ┋Br1 Br2… Bsi ns这里矩阵右面的数 m1,m2,…,mr 和 n1,n2,…ns 分别表示它们左边的小块矩阵的行数,而矩阵上面的数 n1,n2,…,ns 和 p1,p2,…,pt 分别表示它们下边的小块矩阵的列数,因而: m1+m2+…+mr=m,(1) n1+n2+…+ns=n,p1+p2+…+pt=p. 那么就有 P1 P2 … PtC11 C12… C1t m1C21 C22… C2t m2AB= ┋ ┋ ┋ ┋Cr1 Cr2… Crt mr这里 Cij=AijB1j+….+Ai8B8j ,I=1,…,r;j=1,…,t。现在来证明,(2)式成立。由于对 A 和 B 的分法,乘积 AiqBqj(q=1,2,…,s)都有意义,都 是 mi*pi 矩阵,因而它们的和 Cij 也是 mi*pj 矩阵。于是由(1)式知,(2)式右端的矩阵。设用通常矩阵乘法得AB=(cij)那么(cij)显然也是 m*p 矩阵。因此我们只需证明,( Cij)和(cij)的对应元素相等。看任一元素 cij。那么它是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积:(3) cij=ai1b1j+ …+ainbnj,由于1≤i≤m=m1+…+mr,1≤j≤p=p1+…+pi,可以假定i=m1+…+mh-1+u, 1≤u≤mk; (4) j=p1+…+pk-1+v, 1≤v≤pk于是与 cij 对应的是小块矩阵 Chk 中第 u 行第 v 列的元素的和,即 Ah1,…,Ahs 的第 u 行分别与 B1k,…,Bsk 的第 v 列的乘积的和。但由(4),Ah1,…,Ahs 的第 u 行凑起来就是 A 的第 i 行,而 B1k,…,Bsk 的第 v 列凑起来就是 B 的第 j 列。所以b1j (5) c uv=(ai1…ain1) ┊ +(ai,n1+)bn1j比较(3)和(5),得 cij= cuv。在某些情形,对矩阵进行适当的分块,可以简化计算。我们看两个例子。例 1设1 0 0 0 1 0 3 2A= 0 1 0 0 B= -1 2 0 1-1 2 1 0 1 0 4 11 1 0 0 -1 -1 2 0为了求乘积 AB,我们可以对 A,B 如下地分块 1 0 0 0 0 1 0 0 I OA= = A1 I -1 2 1 0 1 1 0 0 因此求得: 1 0 3 2-1 2 0 1AB= -2 4 1 1-1 1 5 3 例 2设A C P = O B是一 个 n 阶正方阵,并且 A,B 分别为 r 阶可逆正方阵,r+s=n。我们证明,P 可逆。于是A-I -AC B-1X = O B-1形式如 A1 O … OO A2 … O………………O O … As 的分块矩阵,其中 Ai 是一个 ni 阶的正方阵,叫做一个对角线分块矩阵。设A1 O … O B1 O … OA= O A2 … O O B2 … O ……………… , ………………… O O … As O O … O 是 两个同阶的对角线分块矩阵,并且有相同的分法.那么根据分块矩阵的运算,我们有A1+B2 O … O A+B= O A2+B2 … O ;………………………………… O O … As+Bs A1B1 O … O AB= O A2B2 … O , ………………………… O O … AsBs 如果每一 Ai 都有逆,那么 A 也有逆,并且A1 -1 O … O A-1= O A2-1 … O . ……………… O O … As -1
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