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最优化方法第1章.ppt

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最优化方法,主要内容,第一章 最优化简介 第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 第五章 无约束最优化方法 第六章 约束最优化方法,第一章,最优化简介,最优化—寻求最优方案的方法称为最优化方法。最优方案:从所有可能的方案中选择最合理的一种以达到最优目标。最优目标:与工程设计密切相关。如:产值最大、 耗能最小、 速度最快等等。处理方法:对实际问题建立一个数学模型。 发展过程—运筹学、线性规划、非线性规划、动态规划、组合优化等。 促进最优化发展的主要因素 近代科技与生产发展的需要 计算机技术的飞速发展,参考书目 《最优化理论与方法》袁亚湘等编,科学出版社 《数学规划讲义》马仲蓄等编,人大出版社 《实用线性规划》D.M希梅尔布劳著 《无约束最优化计算方法》邓乃杨等编基础:高等数学,线性代数,§1 最优化问题的数学模型及分类,共同特点:求x1 ,x2 ,…,xn使函数f( x1 ,x2 ,…,xn) (被称为目标函数或评价函数)达到极小min;若求极大max,相当于一个min(-f)。,优化模型的一般形式,min. f ( xi, yj, k ) s.t. gh ( xi, yj, k )   ,   0h = 1,2, … ,m 其中: xi 为决策变量(可控制)yj 为已知参数k 为随机因素f , gh 为(一般或广义)函数 建模举例(略)—— 自看,,,(一)根据问题的不同特点分类 无约束最优化问题约束最优化问题 等式约束优化问题不等式约束优化问题,,,,,一般的约束优化问题以上为标准形式,某些问题可标准化: 1)2),,,(二)根据函数类型分类 线性规划:目标函数、约束条件都是线性的 二次规划:目标函数为二次函数,约束条件中的函数为线性的。 非线性规划:目标函数不是一次or二次的,或约束条件中的函数不全是线性的。 (三)根据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标,(四)解法的分类 解析方法:利用函数的分析性质去构造迭代公式,使之收敛到极值点。 直接方法:按一定的数学原理,用尽量少的 计算量,直接比较函数值的大小。,§2 最优化方法解决问题的工作步骤,1 )提出问题:目标、约束、决策变量、参数 2 )建立模型:变量、参数、目标之间的关系表示 3 )模型求解:数学方法及其他方法 4 )解的检验:制定检验准则、讨论与现实的一致性 5 )灵敏性分析:参数扰动对解的影响情况 6 )解的实施:回到实践中 7 )后评估:考察问题是否得到完满解决,1、最优解与极值点容许解集: Def1:若使得 ,恒有称 为问题(p)的最优解or全局极小值点。记 g.opt.( global optimum),简记 opt.,§3 基本概念,,,,,,,Def2:若 ,使得 ,恒有 ,称 为问题(p)的严格全局极小值点。 Def3:若 ,使得 ,恒有称 为问题(p)的局部极小值点。记 l .opt.(local optimum) Def4:若 ,恒有 , 称 为问题(p)的严格局部极小值点。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,严格l .opt .,严格g .opt .,l .opt .,由以上定义,可得到两个简单定理: Th1:问题(p)的任意全局极小值点必为局部极小值点。 Th2:若目标f(x)和g(x)都为定义域上的连续函数,则:(1)问题(p)的容许解集R为闭集。(2)问题(p)的最优解集R为闭集。,2、向量和子空间投影定理 (1) n维欧氏空间:Rn点(向量):x  Rn, x = (x1 ,x2 ,…,xn)T分量 xi  R (实数集)方向(自由向量):d  Rn, d  0d =(d1 ,d2 ,…,dn)T 表示从0指向d 的方向实用中,常用 x + d 表示从x 点出发沿d 方向移动d 长度得到的点,,,d,0,x,x+(1/2)d,(2) 向量运算:x , y  Rnx , y 的内积:xTy =  xiyi = x1y1+ x2y2+ …+ xnyn i =1x , y 的距离: ‖x-y ‖= [(x-y)T(x-y)](1/2)x 的长度: ‖x‖= [ xTx ](1/2)三角不等式: ‖x + y ‖≤‖x‖+‖y‖点列的收敛:设点列{x(k)} Rn , x Rn点列{x(k)}收敛到 x ,记 lim x(k) = x  lim‖x(k)- x‖ = 0  lim xi(k) = xi ,i k k k,,,,,,x+y,y,x,(3) 子空间:设 d (1) ,
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