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机械工程测试技术基础讲稿(第二周).ppt

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机械工程测试技术基础讲稿(第二周).ppt
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主讲人:周晓军 教授、博导联系电话:87952516/13306522407 Email: sky@zju.edu.cn 办公地点:浙江大学玉泉校区教1-104,机 械 工 程 测 量 学--测试技术基础,第二周授课内容,瞬变信号与连续频谱(频谱密度函数)1. Fourier变换的定义2. Fourier变换的性质3. 几种典型信号的频谱,,例:求图1和图2周期方波的频谱。,,解:对于图1的信号,其周期为 ,可得,图1,图2,,进一步为:,同理可得图2信号的频谱表示式为:,图1信号的频谱,图2信号的频谱,两点重要的结论:,,,对 取极值,得频谱密度 函数为:,即为x(t)的傅里叶正变换。,频谱密度函数的图示解释:,,根据周期信号的复指数基展开,有,取,那么,得到傅里叶反变换为,因此,傅里叶变换对为,可记为,,,由于,,因而有,,上述傅里叶,变换对可表示为:,,正变换,反变换,,,可记为,,其中,是一个复数,可表示为:,存在以下关系,由于,对于实信号 ,有,因此,对于实信号幅频谱为偶函数,相频谱为奇函数。,傅里叶变换的存在的充分条件是在无限区间上绝对可积,即,但是,自从引入广义函数概念以后,在傅里叶变换中允许奇异函数(如冲击函数)存在,这样使许多并不绝对可积的函数(如阶跃函数、符号函数及周期函数等),其频谱函数有了确定的表示式。,例1 求矩形窗函数的频谱,解:,,应用欧拉公式,,,幅频谱,相频谱,例2 求下列函数的频谱,,,1,t,x(t),0,,,解:,,,1/a,f,X(f),0,,,-1,,,f,0,,,,,例3 求符号函数的频谱,解:符号函数是例2当a 0时的极限状态,因此,,问题:如何求得阶跃函数的频谱?,,1)奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数,则ImX(f)=0,X(f)为实偶函数 若x(t)为实奇函数,则ReX(f)=0,X(f)为虚奇函数 若x(t)为虚偶函数,则ReX(f)=0,X(f)为虚偶函数 若x(t)为虚奇函数,则ImX(f)=0,X(f)为实奇函数,2)线性叠加性,如果,那么,因此,Fourier变换是一种线性变换。,证明:,3)对称性,如果,则有,IFT定义,互换t和f,用-t代t,,这是傅里叶变换的定义,因此上述结论得到验证,即,对称性举例,利用该性质,可根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。,4)时间尺度改变特性,如果,则有,得证,证明,尺度改变性质举例,时间尺度改变特性,又称为时间展缩原理,a) k=1,b) k=0.5 幅值增大 频带变窄,c) k=2 幅值减小 频带变宽,5)时移和频移性质,如果,则有时移性质:,频移性质:,证明:,此性质表明,在时域中信号沿时间轴平移一个常值时,频谱函数将乘因子,即只改变相频谱,不会改变幅频谱。,6)卷积性质(又称为褶积),卷积定义:,运算步骤:,反褶,即,平移,即,相乘,即,积分,即,图形解释,,信号,,,反褶,平移,相乘和积分,,,,,,卷积结果,,,15/16,0,1,-1/2,2,3,,,卷积起到钝化作用; 计算相当繁琐。,系统与信号的关系,对于一个线性系统,其系统函数为h(t),那么,输 入信号x(t)和输出信号y(t)之间存在一个卷积关系,即,,h(t),,x(t),,y(t),卷积性质可表述为:(这个性质很重要),,卷积一般难于计算,应用傅里叶变换的性质,可以将之化为乘积,然后再做反变换。,卷积性质,7) 微分与积分性质,同理,若,则,证明,即,,微分性质,,积分性质,傅里叶变换的主要性质,积 分,,时 移,频域微分,,尺度变换,,时域微分,对称性,x1(t) x2(t),频域卷积,线性叠加,x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,共 轭,虚偶函数,虚偶函数,翻 转,虚奇函数,实奇函数,,频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3.几种典型信号的频谱,3.1 单位脉冲函数((t)函数) 的频谱①δ函数定义,其面积(强度):,,② 函数的采样性质,③卷积性,函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一类形式。把函数的卷积性质描述为:,函数与其它函数的卷积示例,,,,,④δ函数的频谱,对δ(t)取傅里叶变换,,频谱特点:,有无限宽广的频谱;在所有的频段上都是等强度的。,均匀谱 白噪声,δ函数是偶函数,利用对称、时移、频移性质,还可以得到以下傅里叶变换对,,,,对称性,频移性质,时移性质,,,(各频率成分分别移相2ft0),(tt0),(f) (单位脉冲谱线),1 (幅值为1的直流量),1 (均匀频谱密度函数),(t) (单位瞬时脉冲),频 域,时 域,,,,,,,,
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