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机械振动学习题解答(一).ppt

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《机械振动学》习题解答(一),,,2013-04-19,1-4 一简谐振动频率为10 Hz,最大速度为4.57 m/s,求其振幅、周期和最大加速度。,解:简谐振动的位移 速度 速度幅值 加速度 加速度幅值 由题意, 所以,圆频率 振幅 周期 最大加速度,1-6 一台面以一定频率作垂直正弦运动,如要求台面上的物体保持与台面接触,则台面的最大振幅可有多大?,解:对物体受力分析要使物体保持与台面接触,必须N ≥ 0 ,即所以 又由于 所以,,N,mg,物体,台面,,1-7 计算两简谐运动 和 之和。其中 ε ω。如发生拍的现象,求其振幅和拍频。,解: 当ε ω时, 拍振的振幅为2X,拍频为 (不是 )课本p.6,可变振幅,振幅为10 拍频为2Hz 拍的周期为0.5s(不是1s),,可变振幅 拍振的振幅为 (假设X2较小),拍频为,补充 若两简谐运动振幅和频率都不同:,,,振幅为13 拍频为1Hz,可变振幅,2-2 如图所示,长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为 k 的弹簧系住,求杆绕O点微幅振动的微分方程。,解:(力法)假设杆顺时针偏转了θ角,则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的力矩(均为逆时针方向),其中F为两边弹簧弹力之和由动量矩定理 得 又由于 上式可化简为,mg,F,θ,,(能量法)设系统处于静平衡位置时势能为0。当杆顺时针偏转θ角时 势能 动能 由能量守恒原理化简得,θ,列系统微分方程的一般步骤 力法 1)设系统相对于平衡位置发生了广义位移x(或θ); 2)分析系统受到的所有力 (或力矩 ); 3)由牛顿第二定律 (或动量矩定理 )列方程。 能量法 1)设系统相对于平衡位置发生了广义位移x(或θ); 2)写出系统势能U(包括重力势能mgh和弹簧弹性势能 ),动能V= (或 ),耗散能P: 3)由能量守恒原理 列方程。,2-5 求图示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程。,解:(力法)静平衡时有: (Δ为弹簧的伸长量) 假设弹簧相对于平衡位置伸长x,则圆盘沿逆时针方向转过x/r角 质量m 圆盘M联立得,mg,F,x,M, r,k,考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x,会如何?,,,F,F’,(能量法)设系统处于静平衡位置时势能为0,当弹簧相对于平衡位置伸长x时 势能动能 由能量守恒原理 化简得,m,x,M, r,k,,可见,计算势能时,若系统静平衡时已有弹簧发生静变形,则参与静平衡的质量的重力势能恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消,可以不写。,,解:(力法)静平衡时(假设此时弹簧被压缩,即m3的力矩大于m1的力矩) 假设L2杆顺时针旋转θ角 由动量矩定理化简得,2-6 图示系统垂直放置,L2杆处于铅垂位置时系统静平衡,求系统作微振动的微分方程。(刚性杆质量忽略),,,,注:阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功,即所以,(能量法)设系统处于静平衡位置时势能为0 势能 动能 耗散能 由能量守恒原理 化简得,m1和m3参与静平衡,重力势能抵消了弹簧静变形的势能。,,2-7 求图示系统的振动微分方程。(刚性杆质量忽略),解:(能量法)设系统处于静平衡位置时势能为0 动能 势能由能量守恒原理 化简得,m1参与静平衡,重力势能抵消了弹簧k1和k2静变形的势能。,圆盘转动,圆盘平动,质量块平动,2-11 求图所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。,解:对小车m沿x方向施加作用力F,使小车产生位移x。则弹簧k1伸长 ,弹簧k2伸长 。小车受力 其中 所以等效刚度,F2,F,F1,F2,2-12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆,在距左端O为 nL 处设一支承点,如图所示。求杆对O点的等效质量。,解:设弹簧k以速度 发生变形,则杆的质心的运动速度为 于是系统动能:而等效系统的动能: 由Ve=V,得,绕质心转动,,,随质心平动,,,2-13 如图所示,悬臂梁长度为L,弯曲刚度为EI,质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。,解:当悬臂梁在自由端受到弯曲力F时,自由端的位移为 ,所以悬臂梁自由端的等效刚度为,而系统的等效刚度相当于悬臂梁的等效刚度与弹簧k串联,系统的等效质量,计算系统等效刚度、等效质量的方法 1)计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势能不变。但通常只需根据刚度的定义即可算出。即:在质量上施加外力F,使其发生位移x,则ke=F/x。 2)计算等效质量的原则是利用等效前后系统动能不变。即:令弹簧以速度 发生变形, 3)计算系统等效刚度时,也可“分部”计算,即:把系统分成几个部分,计算每部分的等效刚度,再把各个刚度串
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