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1.3 行列式性质.ppt

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第三节 行列式性质,线性代数,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,说明 如果换奇数次改变符号,换偶数次不改变符号。,推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,证明,互换相同的两行,有,见书中例1~3(P12-13),性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.,例3,因为行列式D是一个数,所以由D=-D可知行列式D=0,主对角线上的元素为0,而以主对角线为轴,两边处于对称位置上的元素异号,这样的行列式称为反对称行列式。即若 是反对称行列式,则它满足条件,由上例可证明,任意一个奇数阶反对称行列式必为零。,性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.,证明,看书上例4-5(P14),性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和:,例如,看书上例6(P15),性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.,,,例如,看书上例7-8(P16),定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,证,,,同理,,关于代数余子式的重要性质,例1,二、行列式的计算,计算行列式常用方法:1.利用运算 把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.,,2. 按某一行或列展开,把行列式的除数降低。 化高阶为低阶;植树(“1”)造林(“0”)。,,解,,,,,,,,,,,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,证,用数学归纳法,先对第N-1行乘以-X1 ,再加到第N行上面去。,n-1阶范德蒙德行列式,看书上例9-19(P17~22),(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.,三、小结,行列式的6个性质,思考题,思考题解答,解,结束,
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