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1.4行列式展开定理.ppt

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余子式和代数余子式的定义,范德蒙德行列式,按行(列)展开定理,§1.4 行列式展开定理,1.4 行列式按行(列)展开,,由于三阶、二阶行列式可直接算出,因而计算行列式中一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式。,一、余子式,代数余子式,在n阶行列式,中,划去元素aij所在的第i行和第j列,余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式,称为元素aij的余子式,记作Mij;,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,返回,例如,,,,,例1: 求出行列式,解:,,,,练习1:,,,,,a11的余子式:,M11 =,代数余子式:,A11 = (1)1+1M11,,,,a12的余子式:,M12 =,代数余子式:,A12 = (1)1+2M12,a13的余子式:,M13 =,代数余子式:,A13 = (1)1+3M13,,,,,,练习2:求行列式,中的元素,的余子式和代数余子式.,解,,,,,,引理 在n阶行列式D中,如果第i行的元素仅,其余的为零,则,二、行列式按一行(列)展开定理,n 阶行列式,等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即,,定理1,证明,,,,,,,,,,n 阶行列式,的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和为零,,推论,,,即,,,,,通常先利用行列式的性质使得某一行(列)含有较多的零,并选取含0元素比较多的行或者列来展开。,C1+C4 C1+C4,计算行列式,例,,=,(-1) (-1)2+1,R2-4R1,-,=,,,,,,别丢了代数余子式的符号,练习1: 计算行列式,解:,,,,练习2 计算,解,,,,,,,,练习3: 计算行列式,,解,,,,,,,例 已知,, 求,解:因为,与,的第1列元素的代数余子式相同,所以将,按第1列展开可得,利用行列式的性质可以证明下列结论。,,,,1.,,,,2.,,,,3.,,,,4.,,例,证明n(n1)阶行列式,所有右边元素减去左边元素的乘积,称为n阶范德蒙德行列式,,证,利用数学归纳法,,n=2时结论成立,,假设对n-1时结论成立,即,则n阶范德蒙德行列式,计算行列式,例,解,D是4阶范德蒙德行列式的转置,,,范德蒙德行列式是一类重要的行列式,结果要记住哦,解法一,练习计算行列式,,,解法二,若b=0,则行列式为零,下设b≠0,,箭型行列式,,凡涉及对未知参数的除法时,必须保证非0。,,余子式和代数余子式的定义。,2. 行列式按行(列)展开定理。,3. 范德蒙德行列式。,作业 P22 10、12、 13(1、2、4),谢谢!,
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