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自动控制原理(胡寿松)课后习题答案详解.pdf

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胡寿松自动控制原理习题解答第二章 2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图1—18所示,其中Q为水箱的进水流量, 为水箱的用水流量,1 2QH为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为F,希望水面高度 为,与对应的水流量为,试列出水箱的微分方程。 0H0H0Q解 当Q时,H;当021QQ ==0H=21QQ ≠时,水面高度H将发生变化,其变化率与流量差Q21Q−成正比,此时有 )()()(02010QQQQdtHHdF −−−=−于是得水箱的微分方程为 21QQdtdHF −= 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 图2-58 电网络与机械系统 解:(a):利用运算阻抗法得:11111//111111111111+=+=+==sTRsCRRsCRsCRsCRZ ()()1111122222222+=+=+= sTsCsCRsCsCRZ 所以:)1)(1()1)(1()1(11)1(1)()(2121212211222120+++++=++++=+=sTsTsCRsTsTsTsCsTRsTsCZZZsUsUi(b)以和之间取辅助点A,并设A点位移为1K1f x,方向朝下;根据力的平衡原则,可列出如下原始方程: )()()(010202xxfxxfxxKii&&&& −=−+− (1) )(011xxfxK && −= (2) 所以 (3) xKxxfxxKii 10202)()( =−+− &&对(3)式两边取微分得 xKxxfxxKii&&&&&&&10202)()( =−+− (4) 将(4)式代入(1)式中得 )()()()(021021011021021xxffxxKfxfKxxfKxxKKiiii&&&&&&&&& −−−−=−+− 整理上式得 iiiixKKxfKxKfxffxKKxfKxfKxKfxff21212121021021011021021+++=++++&&&&&&&&&对上式去拉氏变换得 3胡寿松自动控制原理习题解答第二章 [ ][])()()()(212121221021211121221sXKKsfKKfsffsXKKsfKfKKfsffi+++=++++所以: 21221221212212212122122121212111212212121212210)1)(1()1)(1(1)(1)()()()()(1111KfsKfsKfsKfsKfKfsKfKfsKKffsKfKfsKKffKKsfKfKKfsffKKsfKKfsffsXsXi+++++=+++++++=+++++++=所以图2-58(a)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 4胡寿松自动控制原理习题解答第二章 2-11 在图2-60中,已知和两方框相对应的微分方程分别是 )(20)(10)(6 tetcdttdc=+ )(10)(5)(20 tctbdttdb=+ 且初始条件均为零,试求传递函数及 )(/)( sRsC )(/)( sRsE解:系统结构图及微分方程得: 10620)(+=ssG 52010)(+=ssH 250230120)520(200200)520)(106()520(200520101062011062010)()(1)(10)()(2+++=++++=++++=+=ssssssssssHsGsGsRsC25023012050015001200200)520)(106()106)(520(105201010620110)()(110)()(22++++=+++++=+++=+=sssssssssssHsGsRsE2-12 求图2-61所示有源网络的传递函数 解:(a)0000000000001111// CRTsTRsCRsCRsCRZ =+=+== 8胡寿松自动控制原理习题解答第二章 )1()()(001010+−=−= sTRRZRsUsUi(b)0000000000001111// CRTsTRsCRsCRsCRZ =+=+== 1111111111CRTsCsTsCRZ =+=+= )1)(1(1)()(0110010++−=−= sTsTsCRZZsUsUi(c)2221221221221221221121)1(111//)1//(CRTRsTsTRsCsTRsCsTRsCsTRsCRRZ=+++=+++=+=+=11)()(122010120+++−=−=RsTsTRRRZsUsUi2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示,试求闭环传递函数Uc(s)/Ur(s)。 图2-62 控制系统模拟电路 解:0101)()()(RZsUsUsUi−=+(1) 0212)()(RZsUsU−= (2) 0220)()(RRsUsU−=(3) 式(1)(2)(3)左右两边分别相乘得 9胡寿松自动控制原理习题解答第二章 02020100)()()(RRRZRZsUsUsUi−=+即 2213002213000)()(1)()()(RZZRsUsURZZRsUsUsUii−=+−=+所以:1)()(221300−−=RZZRsUsUi21302121221130221122130221221300)1(111111)()(RRsRCsTRRRsCsTRRRsCsTRRZZRRZZRZZRsUsUi++−=+++−=+−=+−=10胡寿松自动控制原理习题解答第二章 图2-65 题2-17系统结构图 解:(a) G1(s) G2(s) G2(s) G3(s) - R(s) C(s)G1(s) G2(s) G2(s) G3(s) - R(s) C(s)15胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1(s)+ G2(s) 1+G2(s) G2(s)R(s) C(s)1 所以:32211)()(GGGGsRsC++= (b) G1(s) H1(s) R(s) C(s)G2(s)1+ H1(s)H2(s)R(s) C(s)G2(s)G1(1+ H1H2) 1+ H1H2- G1H1所以:112121211)1()()(HGHHHHGGsRsC−++= (c) G1G21+G2H1H2- R(s) C(s)G3G1G21+G2H1H2- R(s) C(s)G3G116胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1+G3G21+ G2H1+ G1G2H2R(s) C(s)所以:221123121)()()(HGGHGGGGsRsC+++= (d) G1G2H2- R(s) C(s)H2/G3G3-H3- G1G2H2- R(s) C(s)H2/ G1G31+ G3H3- G3G1G2R(s) C(s)H2/ G1G31+ G3H3- G31+ G1H1所以:223311321)1)(1()()(HGHGHGGGGsRsC+++= (e) G1G2R(s) C(s)G3H2+ H1/ G3- H1/ G3G417胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1G2G3R(s) C(s)1+ G2G3H2+ H1G2H1/ G3G4G1G2G3R(s) C(s)1+ G2G3H2+ H1G2- G1G2H1G4所以:1212123232141)()(HGGGHHGGGGGGsRsC−+++= (f) G1R(s) C(s)G2G3- H1G1G1+G3R(s) C(s)G21+ G1G2H1所以:1212311)()()(HGGGGGsRsC++= 2-18 试简化图2-66中的系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。 18胡寿松自动控制原理习题解答第二章 解:(1)求)()(sRsC时,这时结构图变为: 0=NG1G2H1R C- - G1G2R C- 1+G1G2H1所以:21121211)()(GGHGGGGsRsC++= (2)求)()(sNsC时,这时结构图变为: 0=RG3G2H1N C- -G1- 进一步化简得 19胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G3G2H1N C- -G1- G1再进一步化简得: G3G2N C-G1- 1+G1G2H1再进一步化简得: G3G2N C-G1- 1+G1G2H1G21+G1G2H1再进一步化简得: 20胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G3G2N C- G1- 1+G1G2H1G21+G1G2H1再进一步化简得: G2G3-1-G1G2H1N C1+G1G2H1G2G2+G1(1+G1G2H1)所以:)]1()[1()1()()(12112121121322HGGGGHGGHGGGGGsRsC+++−−= 图2-66 题2-18系统结构图 解: (1) 求)()(sRsC时,这时结构图变为: 0=NG1G2G3R C- G4G221胡寿松自动控制原理习题解答第二章 G1G2G2+G3R C- G4G1G2G2+G3R CG4G2+G3- G1G2+G2+G3R CG41+G4(G2+G3) 所以:)(1)()()(32432214GGGGGGGGsRsC++++= (2) 求)()(sNsC时,这时结构图变为: 0=RG2G3C- G4N G2+G3C- G4N 所以:)(1)()(3244GGGGsRsC++= 22胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-1 设随动系统的微分方程为: uKxxT200=+ &&&u ])([1 fxtrK −= T0xxxfff=+& 其中T,Tf, K2为正常数。如果在外作用r(t)=1+t的情况下,使对r(t)的稳态误差不大于正常数 0x0ε ,试问k1应满足什么条件? 见习题3-20解答 3-2 设系统的微分方程式如下: (1) )(2)(2.0 trtc =&(2) 0 )()()(24.0)(04. trtctctc =++ &&& 试求系统的单位脉冲响应k(t)和单位阶跃响应h(t)。已知全部初始条件为零。 解: (1) 因为 )(2)(2.0 sRssC =单位脉冲响应:C ss /10)( = 010)( ≥= ttk 单位阶跃响应h(t) C 2/10)( ss = 010)( ≥= ttth (2)( )()()124.004.02sRsCss =++124.004.0)()(2++=sssRsC 单位脉冲响应:124.004.01)(2++=sssC tetkt4sin325)(3−= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++−=++=ssssssC tetethtt4sin434cos1)(33 −−−−= 3-3 已知系统脉冲响应如下,试求系统闭环传递函数Φ(s)。 (1) tetk25.10125.0)(−=(2) )454sin(105)(0++= tttk(3) )1(1.0)(3/tetk−−=解: (1)25.10125.0)(+=ssΦ 1胡寿松自动控制原理习题解答第三章 (2) 0045sin4cos1045cos4sin105)( ttttk ++=1642551625164255)(22222+++=++++=Φssssssss (3)3/11.01.0)(+−=sssΦ 3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为 h )1.536.1sin(5.1210)(2.1 ottet +−=−试求系统的超调量σ%、峰值时间tp和调节时间ts。 解:)1sin(111)(22βωξξξω+−−−=−tetntnh ξβ arccos= 21/%ξπξσ−−= e nptωξπ21−= nstξω5.3= 6.01.53coscos0=== βξ %5.9%2226.01/6.06.01/6.01/====−−−−−− ππξπξσ eee )(96.16.112stnp==−=πωξπ)(92.22.15.35.3stns===ξω2胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-7设图3-42是简化的飞行控制系统结构图,试选择参数K1和Kt,使系统ωn=6、ζ=1。 图3-42 飞行控制系统 解:系统开环传递函数 )2()258.0(2525)8.0(25)8.0(251)8.0(25)(21111110nntttssKKssKsKKssKsKssKssKsGξωω+=++=++=+++=122536 Kn==ω 25361=K 4胡寿松自动控制原理习题解答第三章 12258.021=+=tnKKξω 所以4514=tK 3-8 试分别求出图3-43各系统的自然频率和阻尼比,并列表比较其动态性能。 1 S2r(t) c(t) 1S2r(t) c(t)1+s1 S2r(t) c(t) S (c) (b)(a) - - - + + 图3-43 控制系统 解: (a)01 == ξωn系统临界稳定。 (b)11)(2+++=ssssΦ 5.01 == ξωn%8.29% =σ t ss51.7= (c)11)(2+++=Φssss 5.01 == ξωn%3.16% =σ sts08.8= 5胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-12已知系统特征方程如下,试求系统在s右半平面的根数及虚根值。 (1) 04832241232345=+++++ sssss(2) 0108-7-44423456=++−+ ssssss(3) 02535201232345=+++++ sssss解:(1)列劳思表如下: 01234548121644824332121ssssss有一对虚根,系统不稳定 (2)列劳思表如下: 6胡寿松自动控制原理习题解答第三章 0123456105584410741sssssss−−−−−系统不稳定 (3)列劳思表如下: 25102553803162520335121012345ssssss有一对虚根,系统不稳定 3-13已知单位反馈系统的开环传递函数 )15.0)(1()15.0()(2++++=sssssKsG 试确定系统稳定时的K值范围。 解:系统特征方程为 0)15.0()15.0)(1(2=+++++ sKssss 将上述方程化简得到: 0)5.01(25.15.0234=+++++ KsKsss 劳思表如下: KsKKKsKKsKsKs02123425.05.2125.025.15.25.125.05.25.015.125.0−−−−+胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数 (1) )5)(11.0(100)(++=sssG (2) )5)(11.0(50)(++=ssssG (3) )1006()12(10)(22+++=sssssG 试求输入分别为 和 时,系统的稳态误差。 ttr 2)( =222)( tttr ++=解: (1)因为是二阶系统,且系数大于零,所以系统稳定。 20)(lim0==→sGKsp0)(lim0==→ssGKsV0)(lim20==→sGsKsa所以当时 ttr 2)( = ∞==VssKRe2当 222)( tttr ++= ∞=+++=aVpssKRKRKR3211e 8胡寿松自动控制原理习题解答第三章 (2)应先检查系统的稳定性。 ∞==→)(lim0sGKsp10)(lim0==→ssGKsV0)(lim20==→sGsKsa所以当时 ttr 2)( = 2.02==VssKRe 当 222)( tttr ++= ∞=+++=aVpssKRKRKR3211e (3)应先检查系统的稳定性。 ∞==→)(lim0sGKsp∞==→)(lim0ssGKsV1.0)(lim20==→sGsKsa所以当时 ttr 2)( = 02==VssKRe 当 222)( tttr ++= 201321=+++=aVpssKRKRKRe 9胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-18 设控制系统如图3-47所示。其中 sKKsGp+=)( JssF1)( = 输入r以及扰动n和均为单位阶跃函数。试求: )(t )(1t )(2tn(1) 在作用下系统的稳态误差 )(tr(2) 在作用下系统的稳态误差 )(1tn(3) 在和同时作用下系统的稳态误差 )(1tn )(2tn解: (1) 在作用下系统的稳态误差 )(tr这时系统的开环传递函数为: 20)()()(JsKsKsFsGsGp+== 系统位置误差系数为∞==→)(lim0sGKsP在作用下系统的稳态误差)(tr 011=+=pssrKRe (2) 在作用下系统的稳态误差 )(1tn这时系统的开环传递函数为: 20)()()(JsKsKsFsGsGp+== 系统位置误差系数为∞==→)(lim0sGKsP在作用下系统的稳态误差)(1tn 0111=+=pssnKRe (3) 在和同时作用下系统的稳态误差 )(1tn )(2tn10胡寿松自动控制原理习题解答第三章 )(2tn作用下系统的稳态误差 这时系统的开环传递函数为: 20)()()(JsKsKsFsGsGp+== 系统位置误差系数为∞==→)(lim0sGKsP在作用下系统的稳态误差)(2tn 0112=+=pssnKRe 所以在在和同时作用下系统的稳态误差为 )(1tn )(2tn00021=+=+=ssnssnssneee 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗sKsG 试用解析法绘出∗K从零变到无穷时的闭环根轨迹图,并判断下列点是否在根轨迹上: (-2+j0), (0+j1), (-3+j2) 解: 有一个极点:(-1+j0),没有零点。根轨迹如图中红线所示。 (-2+j0)点在根轨迹上,而(0+j1), (-3+j2)点不在根轨迹上。 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=sssKsG 试用解析法绘出开环增益K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。 解: 系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=sssKsssKsgG 有两个极点:(0+j0),(-1/2+j0),有一个零点(-1/3,j0)。 根轨迹如图中红线所示。 4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示,试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 1胡寿松自动控制原理习题解答第四章 图4-28 开环零、极点分布图 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下,试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d): (1) )15.0)(12.0()(++=sssKsG 解: 系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=sssKsssKsgG 有三个极点:(0+j0),(-2+j0),(-5+j0)没有零点。 分离点坐标计算如下: 051211=++++ddd3解方程的010142=++ dd 7863.31−=d,d 88.02−=取分离点为88.0−=d 根轨迹如图中红线所示。 2胡寿松自动控制原理习题解答第四章 (2) )12()1()(++=sssKsG 解: 系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=sssKsssKsgG 有两个极点:(0+j0),(-0.5+j0),有一个零点(-1+j0)。 分离点坐标计算如下: 115.011+=++ddd解方程的05.022=++ dd 7.11−=d,d 29.02−=取分离点为7.11−=d,29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。 (3) )3)(2()5()(*+++=ssssKsG 解: 系统开环传递函数为)3)(2()5()(*+++=ssssKsG 有三个极点:(0+j0),(-2+j0),(-2+j0),有一个零点(-5+j0)。 分离点坐标计算如下: 5131211+=++++dddd解方程的,015251023=+++ ddd 5171.61−=d3胡寿松自动控制原理习题解答第四章 5964.22−=dd, 8865.03−=d8865.0−取分离点为 =根轨迹如图中红线所示。 胡寿松自动控制原理习题解答第四章 4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )102.0)(101.0()(++=sssKsG 要求: (1) 画出准确根轨迹(至少校验三点); (2) 确定系统的临界稳定开环增益Kc; (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。 解:系统开环传递函数为 )50)(100()50)(100(5000)102.0)(101.0()(*++=++=++=sssKsssKsssKsG 有三个极点:(0,j0),=1p =2p(-50,j0),=3p(-100,j0),没有零点。 分离点坐标计算如下: 010015011=++++ddd即解方程3得050003002=++ dd 9.781−=d,1.212−=d, 11胡寿松自动控制原理习题解答第四章 取分离点为, 1.21−=d起始角: L,2,1,0)12()(11±±=−++=∑∑≠==kknijjppmjpzpiiijiθϕπθ 01801=pθ 002=pθ01803=pθ根轨迹如图所示。 (2)令ωjs =代入系统特征方程中 05000150*23=+++ Ksss得到实部方程为: 01502*=− ωK虚部方程为:5000 03=−ωω解方程得:7.70=ω 所以750000*=K 150=cK (3)令代入系统特征方程中 1.21−=s 05000150*23=+++ Ksss得到 系统临界阻尼比相应的开环增益48112*=K 62.9=K 12
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